Konvergente Reihen in Mückenhausen

21/08/2010 - 13:36 von Jürgen R. | Report spam
Im Hauptwerk des Herrn Mückenheim,
"Mathematik für die ersten Semester", Oldenbourg 2009,
steht auf Seite 203 folgender Satz:

"Ist f_n(x) gleichmàßig konvergent und sind die f_n stetig, so
ist auch die Grenzfunktion f stetig. Dann sind die Grenzprozesse
vertauschbar: Die Funktion der Grenzwerte ist der Grenzwert der
Funktionenfolge

(1) lim_{x->x_0} lim_{n->infty} f_n(x) lim_{n->infty} lim_{x->x_0} f_n(x).

Dann ist der Grenzübergang mit der Summenbildung vertauschbar

(2) lim_{x->x_0} Sum_{n = n_0}^{infty} f_n(x) Sum_{n = n_0}^{infty} lim_{x->x_0} f_n(x)

und für differenzierbare Funktionen gilt

(3) d/dx Sum_{n = n_0}^{infty} f_n(x) Sum_{n = n_0}^{infty} df_n(x)/dx

Ist dem Herrn das peinlich? oder ergibt sich das
aus der Endlichkeit aller Dinge?

(1) und (2) sind richtig. Gegenbeispiel zu (3):

sin(x) + sin(x*2^4)/2^2 + sin(x*3^4)/3^2 + ...
 

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#1 Roland Franzius
21/08/2010 - 15:38 | Warnen spam
Jürgen R. schrieb:
Im Hauptwerk des Herrn Mückenheim,
"Mathematik für die ersten Semester", Oldenbourg 2009,
steht auf Seite 203 folgender Satz:

"Ist f_n(x) gleichmàßig konvergent und sind die f_n stetig, so
ist auch die Grenzfunktion f stetig. Dann sind die Grenzprozesse
vertauschbar: Die Funktion der Grenzwerte ist der Grenzwert der
Funktionenfolge

(1) lim_{x->x_0} lim_{n->infty} f_n(x) > lim_{n->infty} lim_{x->x_0} f_n(x).

Dann ist der Grenzübergang mit der Summenbildung vertauschbar

(2) lim_{x->x_0} Sum_{n = n_0}^{infty} f_n(x) > Sum_{n = n_0}^{infty} lim_{x->x_0} f_n(x)

und für differenzierbare Funktionen gilt

(3) d/dx Sum_{n = n_0}^{infty} f_n(x) > Sum_{n = n_0}^{infty} df_n(x)/dx

Ist dem Herrn das peinlich? oder ergibt sich das
aus der Endlichkeit aller Dinge?

(1) und (2) sind richtig. Gegenbeispiel zu (3):

sin(x) + sin(x*2^4)/2^2 + sin(x*3^4)/3^2 + ...




Du musst das bei Mückenheim so sehen wie bei einem Gefechtsbeobachter
weit, weit hinter der Front auf einem Nebenkriegsschauplatz.

Da Mückenheim selbst keinerlei Beweise zu führen gelernt hat, beobachtet
er, was so mit seinen Wahrnehmungswerkzeugen bemerkbar in der Mathematik
làuft und meldet das dann blumig ausgeschmückt seiner Kundschaft weiter.

Wenn er also einen Satz über die Sterigkeit bei gleichmàßige Konvergenz
sieht, ist für ihn aus erfahrungsgemàßem aus Mangel an Praxis die
Grenzfunktion glatt oder sogar analytisch.

Um sich den gesamten Tatsachenfundus der Mathematik anzueignen, die
seiner Intuitionsmathematik widerspricht, ists in seinem Alter und bei
seiner beruflichen Einbettung eh zu spàt.


Roland Franzius

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