Konvergenz einer Reihe

18/06/2008 - 15:58 von Johann Schneider | Report spam
Hallo,

bei einer Rechnung ist bei mir eine Reihe aufgetreten, von der ich hoffe,
dass sie konvergiert. Maple spuckt mir auch für
konkret eingesetzte Werte ein Ergebnis aus. Aber ich weiß nicht, wie man auf
eine symbolische Lösung kommt:

\sum_{j=n}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty} 1/k * (C/j)^k

Dabei ist C eine Konstante größer 0 und n eine endliche Zahl. Das Problem
kommt daher, dass ich gerne zeigen
will, dass der Term für n -> unendlich gegen 0 geht, was ja der Fall wàre,
wenn die Reihe für ein endliches n konvergieren
würde.

Vielleicht weiß ja jemand von Euch, wie man die Lösung explizit ausrechnen
kann.

Vielen Dank

Johann
 

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#1 Hendrik van Hees
18/06/2008 - 17:40 | Warnen spam
Johann Schneider wrote:

Hallo,

bei einer Rechnung ist bei mir eine Reihe aufgetreten, von der ich hoffe,
dass sie konvergiert. Maple spuckt mir auch für
konkret eingesetzte Werte ein Ergebnis aus. Aber ich weiß nicht, wie man
auf eine symbolische Lösung kommt:

\sum_{j=n}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty} 1/k * (C/j)^k



Wie man sofort durch Integrieren der geometrischen Reihe

f(x)=sum_{k=1}^\infty x^k=x sum_{k=0}^\infty=x/(1-x)

sieht, gilt (zusammen mit der Bedingung F(0)=0):

F(x)=\sum_{k=2}^{\infty} 1/k * x^k=-x-ln(1-x)

Also ist Dein Reihenglied

a_j=-C/j-ln(1-C/j),

Für große j geht das wie O(1/j^2), also ist die Reihe konvergent.

Daß a_j->0 für j->\infty sieht man freilich auch direct aus dem obigen
Ausdruck.


Dabei ist C eine Konstante größer 0 und n eine endliche Zahl. Das Problem
kommt daher, dass ich gerne zeigen
will, dass der Term für n -> unendlich gegen 0 geht, was ja der Fall wàre,
wenn die Reihe für ein endliches n konvergieren
würde.

Vielleicht weiß ja jemand von Euch, wie man die Lösung explizit ausrechnen
kann.



Wenn das eine Hausaufgabe für die Mathevorlesung ist, mußt Du natürlich
jeden Schritt da oben ausführlich begründen (z.B. wieso ich gliedweise
integrieren darf, wo die geometrische Reihe und ihr Integral überhaupt
konvergent sind, etc. etc.).

Hendrik van Hees Institut für Theoretische Physik
Phone: +49 641 99-33342 Justus-Liebig-Universitàt Gießen
Fax: +49 641 99-33309 D-35392 Gießen
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/

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