Konvergenz Problem

20/05/2008 - 16:01 von Tobias Baumann | Report spam
Guten Tag

Ich hab gerade ein seltsames Problem (was sich wahrscheinlich als sehr
offensichtlich herrausstellt, aber da ein Kollege auch nicht weiter weiß
wird sich das vielleicht als nicht so ganz fundamental herrausstellen).

Es geht um die Funktion F(x)= x / sqrt(x^2+1)

Nun interessiert es mich wie die Funktion gegen +unendlich und
-unendlich konvergiert.

Betrachtet man sich die Funktion genauer so ist für große x Werte x^2+1
ungefàhr x^2, somit konvergiert das gegen 1 (das ist jetzt vielleicht
keine gute Begründung, aber für die Anschauung shconmal ganz brauchbar).
Für ganz kleine x Werte geht das mit der gleichen Begründung dann
gegen -1 (F ist punktsymmetrisch).

Das Problem das ich jetzt habe ist aber folgendes. Ich klammere x^2 im
Summanden vor

F(x) = x / sqrt(x^2(1+1/x^2))

Verwende sqrt(x y) = sqrt(x) sqrt(y) und erhalte

F(x) = x / [sqrt(x^2) sqrt(1+1/x^2)] = x / (x sqrt(1+1/x^2))

kürze danach das x herraus und erhalte schließlich:

F(x) = 1 / sqrt(1+1/x^2)

Die Funktion ist somit nichtmehr Punktsymmetrisch sondern
Achsensymmetrisch (gespiegelt an der Y-Achse) und konvergiert somit für
+unendlich und -unendlich gegen 1.

Daher muss ich irgendwo einen gewaltigen Denkfehler gemacht haben und
ich vermute das es irgendwie mit der Wurzelfunktion zusammenhàngt, aber
ich kann es mir nicht genau erklàren.

Vielen Dank für jede Hilfe :)

Gruß Tobias
 

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#1 Thomas Nordhaus
20/05/2008 - 16:09 | Warnen spam
Tobias Baumann schrieb:
...

Das Problem das ich jetzt habe ist aber folgendes. Ich klammere x^2 im
Summanden vor

F(x) = x / sqrt(x^2(1+1/x^2))

Verwende sqrt(x y) = sqrt(x) sqrt(y) und erhalte

F(x) = x / [sqrt(x^2) sqrt(1+1/x^2)] = x / (x sqrt(1+1/x^2))



sqrt(x^2) = x nur für x>=0. Für x<0 gilt sqrt(x^2) = -x.

Daher muss ich irgendwo einen gewaltigen Denkfehler gemacht haben und



Typischer Fehler beim sorglosen Umgang mit der sqrt-Funktion.


ich vermute das es irgendwie mit der Wurzelfunktion zusammenhàngt, aber
ich kann es mir nicht genau erklàren.

Vielen Dank für jede Hilfe :)

Gruß Tobias




Thomas Nordhaus

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