Konvergenz und Fibonacci-Folge

06/12/2009 - 00:42 von Nicolas v. Wedel | Report spam
Hallo zusammen,

bei der Suche nach einem griffigen Beweis dafür, dass der Grenzwert der
Fibonacci-Folge Phi (Streckenverhàltnis des Goldnen Schnitt) ist, stolperte
ich ueber Vorgehensweisen, die entweder falsch sind oder aber - ich habe was
nicht verstanden:

1. Bestimmung des ANGENOMMENEN Grenzwertes (... geht relativ fix und man ist
bei Phi angekommen)

2. Bestimmung der Konvergenz der Fibonacci-Folge durch
a) Nachweis der Beschrànktheit
b) Nachweis der Monotonie

Soweit alles klar. Wo ich nicht mitkomme ist, daß einige (bspw. Harald Scheid
in seinen "Folgen und Funktionen") die Beschrànktheit der Folge aus dem 1.
Beweisteil nehmen, also (1<=Glied der Folge <= Phi) und nur noch die
Monotonie nachweisen. Das aber ist doch logisch nicht zulàssig!? Denn die
Beschrànktheit beruht ja nur auf der ANNAHME, es gàbe einen Grenzwert der
Folge.
Sehe ich das richtig oder falsch?

Dank für kurze Info.

Gruss Nico
 

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#1 Wolfgang Kirschenhofer
06/12/2009 - 10:16 | Warnen spam
Nicolas v. Wedel schrieb:
Hallo zusammen,

bei der Suche nach einem griffigen Beweis dafür, dass der Grenzwert der
Fibonacci-Folge Phi (Streckenverhàltnis des Goldnen Schnitt) ist, stolperte
ich ueber Vorgehensweisen, die entweder falsch sind oder aber - ich habe was
nicht verstanden:

1. Bestimmung des ANGENOMMENEN Grenzwertes (... geht relativ fix und man ist
bei Phi angekommen)

2. Bestimmung der Konvergenz der Fibonacci-Folge durch
a) Nachweis der Beschrànktheit
b) Nachweis der Monotonie

Soweit alles klar. Wo ich nicht mitkomme ist, daß einige (bspw. Harald Scheid
in seinen "Folgen und Funktionen") die Beschrànktheit der Folge aus dem 1.
Beweisteil nehmen, also (1<=Glied der Folge <= Phi) und nur noch die
Monotonie nachweisen. Das aber ist doch logisch nicht zulàssig!? Denn die
Beschrànktheit beruht ja nur auf der ANNAHME, es gàbe einen Grenzwert der
Folge.
Sehe ich das richtig oder falsch?

Dank für kurze Info.

Gruss Nico



Hallo Nico!

Die Fibonacci-Folge ist unbeschrànkt nach oben.
Vermutlich meinst die die Folge <x_n> der Fibonacci-Quotienten
x_n:= F_{n+1}/F_n. Diese Folge ist aber nicht monoton; sie konvergiert
gegen die Schnittzahl Phi.
Der einfachste Konvergenzbeweis geht mit Hilfe der Binet'schen Formel:

Es gilt F_n = (1/sqrt(5))*(a^n - b^n), wobei a:=(1+sqrt(5))/2 und
b:=(1-sqrt(5))/2 ist.

Es gilt daher x_n = (a^(n+1)- a^(n+1)/(a^n - b^n)= a* (1- (b/a)^(n+1))/(1 - (b/a)^n). (*)

Nun ist aber abs(b/a)= (3-sqrt(5))/2 < 1 .
Aus (*) folgt daher lim(n->oo) x_n = a = Phi.

Die Binet'sche Formel erhàlt man durch Lösung der Differenzengleichung

F_{n+2}=F_{n+1} + F_n mit F_1=F_2=1 .

Gruss,
Wolfgang Kirschenhofer

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