Konvergenzkreis der Potenzreihe von sqrt(z)

15/01/2009 - 15:46 von Stephan Gerlach | Report spam
Thema: Funktionentheorie
Ich habe gerade einen dummen Denkfehler und bitte um Korrektur...

1.) Sei f(z) in einem Gebiet G (zusammenhàngende offene Teilmenge von C)
holomorph(=analytisch). Dann kann man f(z) in jedem Punkt z_0 aus G in
eine Potenzreihe entwickeln. Bei der Frage nach dem
Konvergenzkreis/-radius dieser Potenzreihe kommt man auf den Satz (in
Worten formuliert):

2.) "Der Konvergenzkreis ist der größte offene Kreis um z_0, in dem f(z)
holomorph ist"
oder auch
"Der Konvergenzradius der Potenzreihe reicht von z_0 bis zur erstbesten
Singularitàt von f(z)".

3.) Wàhlen wir als Funktion in 1.) f(z) = sqrt(z); genauer, da man
angeben sollte, *welche* komplexe Wurzel (ist ja zweideutig) man meint:
f(z) = sqrt(|z|)*e^(i*phi/2).
Hierbei sei phi das Argument der komplexen Zahl z aus dem Intervall
[0,2*PI). Damit definiert f(z) tatsàchlich eine Funktion. Holomorph ist
f(z) in G = C\{nichtnegative reelle Achse}. Die komplette nichtnegative
reelle Achse "besteht nur aus Singularitàten".

4.) Da 1+i in G liegt, können wir sqrt(z) in 1+i in eine Potenzreihe
P(z) entwickeln. Der Konvergenzradius von P(z) sollte IMHO r = sqrt(2)
sein, d.h. P(z) konvergiert für alle z aus dem offenen Kreis B_r(1+i).
In der unteren komplexen Halbebene (geschnitten mit B_r(1+i)) stimmt
P(z) dann zwar nicht mehr mit sqrt(z) überein, was die Potenzreihe P(z)
aber eben nicht daran hindert, dort zu konvergieren.

5.) Laut 1.) wàre aber der Konvergenzradius von P(z) nur der Abstand von
1+i bis zum nàchstgelegenen singulàren Punkt von sqrt(z). Der
nàchstgelegene singulàre Punkt ist aber gerade 1, womit der
Konvergenzradius von P(z) nur 1 wàre?!

6.) "Singulàrer Punkt z_0" heißt: Eine in G definierte Funktion f(z) ist
in z_0 aus G nicht holomorph/analytisch.


Irgendwas in 5.) stimmt IMHO nicht; ich sehe nur gerade nicht, was.



Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
 

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#1 Roland Franzius
15/01/2009 - 16:14 | Warnen spam
Stephan Gerlach schrieb:
Thema: Funktionentheorie
Ich habe gerade einen dummen Denkfehler und bitte um Korrektur...

1.) Sei f(z) in einem Gebiet G (zusammenhàngende offene Teilmenge von C)
holomorph(=analytisch). Dann kann man f(z) in jedem Punkt z_0 aus G in
eine Potenzreihe entwickeln. Bei der Frage nach dem
Konvergenzkreis/-radius dieser Potenzreihe kommt man auf den Satz (in
Worten formuliert):

2.) "Der Konvergenzkreis ist der größte offene Kreis um z_0, in dem f(z)
holomorph ist"
oder auch
"Der Konvergenzradius der Potenzreihe reicht von z_0 bis zur erstbesten
Singularitàt von f(z)".

3.) Wàhlen wir als Funktion in 1.) f(z) = sqrt(z); genauer, da man
angeben sollte, *welche* komplexe Wurzel (ist ja zweideutig) man meint:
f(z) = sqrt(|z|)*e^(i*phi/2).
Hierbei sei phi das Argument der komplexen Zahl z aus dem Intervall
[0,2*PI). Damit definiert f(z) tatsàchlich eine Funktion. Holomorph ist
f(z) in G = C\{nichtnegative reelle Achse}. Die komplette nichtnegative
reelle Achse "besteht nur aus Singularitàten".

4.) Da 1+i in G liegt, können wir sqrt(z) in 1+i in eine Potenzreihe
P(z) entwickeln. Der Konvergenzradius von P(z) sollte IMHO r = sqrt(2)
sein, d.h. P(z) konvergiert für alle z aus dem offenen Kreis B_r(1+i).
In der unteren komplexen Halbebene (geschnitten mit B_r(1+i)) stimmt
P(z) dann zwar nicht mehr mit sqrt(z) überein, was die Potenzreihe P(z)
aber eben nicht daran hindert, dort zu konvergieren.

5.) Laut 1.) wàre aber der Konvergenzradius von P(z) nur der Abstand von
1+i bis zum nàchstgelegenen singulàren Punkt von sqrt(z). Der
nàchstgelegene singulàre Punkt ist aber gerade 1, womit der
Konvergenzradius von P(z) nur 1 wàre?!

6.) "Singulàrer Punkt z_0" heißt: Eine in G definierte Funktion f(z) ist
in z_0 aus G nicht holomorph/analytisch.


Irgendwas in 5.) stimmt IMHO nicht; ich sehe nur gerade nicht, was.



Man bezeichnet in der Funktionentheorie die Punkte der Schnittlinie
einer mehrdeutigen Funktion nicht als singulàre Punkte, wenn die
Konvergenzscheiben der Potenzreihenentwicklungen um alle möglichen
Punkte den Schnitt überdecken.

Bei f(z)=sqrt z ist z=0 ein Verzweigungspunkt der Riemannflàche und
natürlich auch ein Punkt mit singulàrer Ableitung.


Roland Franzius

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