Koordinaten in der Physik

28/03/2010 - 17:03 von Philo | Report spam
Ich einer kürzlichen Diskussion mit Homo Lykos hatte ich erwàhnt, dass
man doch zunàchst einmal die physikalische Bedeutung der Symbole
klàren sollte, mit denen immer hantiert wird. Denn erstaunlicherweise
wird in physikalischen und besonders in relativistischen Lehrtexten
zwar stàndig von Koordinaten gesprochen (in der RT gibt es geradezu
eine Inflation von Koordinaten!), aber praktisch nie wird untersucht,
was diese Koordinaten sind und woher sie stammen. Das ist einerseits
verstàndlich, denn solange man sich in der klassischen Mechanik
befindet ist es intuitiv klar, andererseits aber eine fatale
Unterlassung. Denn ohne deutliche Bewusstheit ist man den
Überredungskünsten der Relativisten ausgeliefert.

Ich entschuldige ich mich schon jetzt dafür, dass dieser Beitrag
lànger als 30 Zeilen geworden ist, denn wie ich kürzlich hörte, ist
das so ziemlich die Grenze der Aufnahmefàhigkeit. Wer also
Konzentrationsprobleme hat oder sich schnell gelangweilt fühlt, der
möge bereits hier die Lektüre beenden.

Stellvertretend für viele andere àhnliche Aussagen in der Literatur
zitiere ich hier A. Most (Diskussionsstrang "Urknall und variables
c"):


Daraus wiederum folgt, dass obige zwei Metriken nicht àquivalent sind,
weil man im ersten Fall durch eine physikalisch nicht relevante
Koordinatentransformation die Metrik auf die Minkowski-Metrik umformen
kann.

Die Koordinatensysteme selbst haben keine physikalische
Bedeutung. Man kann ein beliebiges wàhlen, am besten eins, in dem die
Rechnungen, die man machen will, möglichst einfach ausgeführt werden
können.



Die Lorentztransformation ist eine Koordinatentransformation und wàre
daher A. Most zufolge physikalisch nicht relevant. Das wird er wohl
selbst für eine gewagte Aussage halten. Nebenbei gesagt ist der erste
Satz falsch, da eine (Pseudo-)Metrik durch keine wie auch immer
geartete Koordinatentransformation in eine andere (Pseudo-)Metrik
umgeformt werden kann. Vielmehr wird eine vorhandene, explizit oder
implizit eingeführte (Pseudo-)Metrik nur anders dargestellt.

Weiter mit A. Most:


Entfernungsmessungen sind koordinatenunabhàngig. Es ist allerdings in
den meisten Fàllen pragmatisch (wenn auch nicht zwingend erforderlich),
das Koordinatensystem so zu wàhlen, dass die Entfernungsmessungen
möglichst einfach darstellbar sind.



Hier kommen wir dem wirklichen Sachverhalt schon nàher. Manche
Koordinatensysteme stellen also Entfernungen "einfach" dar und andere
nicht. Sieht man das und wenn ja, woran? Was heißt "einfach"? Ist das
für die Physik relevant? Darüber erfahren wir bei Relativisten nichts
Gescheites.

Wie so oft werden die Dinge sehr viel deutlicher, wenn man die
historische Entwicklung des Koordinaten-Begriffs überblickt. Man kann
drei Stufen unterscheiden:
Stufe 1: Die Zeit bis etwa 1600
Stufe 2: Die Bedeutung, in der Koordinatensysteme in der Schule bzw.
der analytischen Geometrie behandelt werden (beginnend mit Descartes,
Fermat, Newton)
Stufe 3: Die moderne algebraische Fassung, in der man Koordinaten gern
als Synonym für 1-zu-1-Zuordnungen von Zahlen zu Mengenelementen
betrachtet (etwa ab 1850).

Die beiden ersten Stufen sind die interessantesten. Man sollte sich
ins Gedàchtnis rufen, dass Koordinaten zur Orientierung nicht
benötigt.werden. Autofahrer beispielsweise orientierten sich bis vor
kurzem allein visuell an Landmarken (Richtungsschilder, Gebàude usw.).
Wer mich nach dem Weg zum Bahnhof fragt, dem nützt es nichts, wenn ich
ihm dessen Koordinaten oder seine Entfernung in Luftlinie angebe, sehr
wohl aber nützt ihm ein Stadtplan, sogar ohne Koordinatengitter.
Relativisten stellen zwar fest, DASS man in der Wissenschaft
Koordinaten verwendet, aber nicht, WARUM man es tut und warum man es
SO tut, wie man es tut.

In der Natur gibt es keine Koordinaten. Wir nehmen Richtungen und
Làngenverhàltnisse wahr. Und je mehr Landmarken-Informationen oder
astronomische Informationen man hat, desto mehr ràumliche Beziehungen
treten auf. Um eine Übersicht der ràumlichen Beziehungen zu gewinnen,
bleibt also nichts anderes übrig, als diese *möglichst unter Erhalt
der Làngenverhàltnisse und Winkel* (maßstabsgetreu) einzudampfen und
auf eine Karte oder einen Globus zu übertragen. Genau so zeichnet man
den Grundriss eines Hauses. Über den Maßstab làsst sich sofort das
wirkliche Làngenmaß ermitteln. Das Koordinatengitter auf einer Karte
gibt daher unter Berücksichtigung des Maßstabs den tatsàchlichen
Abstand wieder. Ein Blick auf antike oder mittelalterliche Landkarten
lehrt übrigens, dass es keineswegs einfach ist, die bekannten
Landmarken unter Erhalt der tatsàchlichen Làngen in eine Karte oder
auf einen Globus zu übertragen, sprich ihnen Koordinaten in einem 2-
oder 3-dimensionalen Raum zuzuweisen. Das Problem der Abbildung
gekrümmter Flàchen in eine Ebene ist dabei noch nicht mal
berücksichtigt.

Ein Koordinatensystem, das Làngenverhàltnisse und Winkel nicht
respektiert, jedenfalls in möglichst guter Nàherung, ist für
praktische Zwecke unbrauchbar. Logarithmische Koordinaten wird man
daher in der Geodàsie und Astronomie eher nicht verwenden. Aber selbst
wenn man es tàte, so würde doch niemand diese Koordinatenangaben frei
erfinden sondern auch ihnen würden die tatsàchlichen
Làngenverhàltnisse zugrunde liegen. Wichtig ist also: Koordinaten
entstehen in der Praxis aus Abstands- und Winkelmessungen, weil man in
der Natur nichts anderes zur Verfügung hat als Làngenverhàltnisse, oft
genug nicht mal das. Manchmal lassen sich Abstànde nur indirekt
ermitteln. Koordinaten, sinnvoll verwendbare Umgebungskoordinaten,
sind Messwerte. Dabei ist Messung in einem sehr weiten Sinn zu
verstehen. Weder werden wie bei Einstein kleine Klötzchen
aneinandergelegt noch làsst sich bei den verschiedenen Messungen
Gleichzeitigzeit, gegenseitige Ruhe oder Kràftefreiheit garantieren.
Vielmehr werden die verschiedenen zur Verfügung stehenden Messdaten
kombiniert, untereinander und mit früheren Daten verglichen (wenn
erforderlich auch in bezug auf Gleichzeitigkeit) und ggfs. mittels der
euklidischen(!) Geometrie bearbeitet. Man denke mal daran, wie
schwierig früher die Bestimmung der Abstànde von Sonne, Mond und
Planeten war. Die Koordinate kann das Ergebnis einer komplizierten
Operation sein, im allgemeinen ist sie nicht eine auf einem Lineal
abgelesene Zahl. Es kann auch sein, dass verschiedene Verfahren
innerhalb gewisser Fehlergrenzen zu verschiedenen Ergebnissen kommen.
Dann muss man sehen, ob und wie man daraus einen brauchbaren Wert
erhàlt. Die Bewegungsgeschwindigkeit und -Richtung der Beobachter ist
nur ein Faktor unter vielen und nicht unbedingt der wichtigste.

In einem zweiten Schritt wird aus den wirklichen Koordinaten, den
Messwerten in obigem Sinn, ein weiterer Koordinatensatz für das Modell
erzeugt, in das die Umgebung nun übersetzt werden soll: Globus, Karte,
Atlas. Die Verhàltnisse der Kartenkoordinaten entsprechen möglichst
treu den Verhàltnissen der wirklichen Messwerte. Nur deshalb können
wir durch Anlegen eines Lineals in der Karte und einen Blick auf den
Maßstab sofort den wirklichen Abstand von zwei Punkten angeben. Diese
Art von Koordinatensystemen darf man als "geometrische Systeme"
bezeichnen. Sie haben unmittelbare physikalische Bedeutung, weil sie
aus den physikalischen Verhàltnissen entstanden sind, und daher gibt
es auch nur wenige Typen: kartesische, Polar- und Zylinderkoordinaten.
Einem Koordinatensystem an sich sieht man nicht an, ob es physikalisch
bedeutsam ist. Das folgt allein aus der Bedeutung, die man den
Variablen gibt, und ihrer Beziehung zu Messdaten. Ein echter
Formalist, ein reiner Schreibtischphysiker, übersieht das schon mal.
In der relativistischen Literatur heißt es dann: "Sei ein
Koordinatensystem gegeben". Wie und von wem? Woher stammt das? Es ist
einfach so da wie in der Schule auf dem Millimeterpapier. Man "wàhlt"
es irgendwie. Derartige Sàtze zeugen von wenig Einsicht in die
wirklichen Verhàltnisse messender Wissenschaft.

Stufe 2, die Umwandlung geometrischer in algebraische Beziehungen, war
das Ergebnis der sich entwickelnden Algebra. Die Geometrie kennt wie
die Natur keine Koordinaten, das kann man nicht deutlich genug sagen.
Geometrie handelt von Begriffen wie Inzidenz und Kongruenz. Wàhrend
die Geometrie schon in der Antike weit entwickelt war und seitdem
wenig Neues hinzugekommen ist, kam die Rechenkunst über einfachste
Operationen kaum hinaus, aus heutiger Sicht ein Resultat wenig
brauchbarer Symbolik, man denke nur an die römischen Ziffern. Dieses
Ungleichgewicht in der historischen Entwicklung zeigt auch deutlich,
wie sehr die ràumliche Anschauung unser Denken dominiert. Die Zahlen
in unserem heutigen Sinn sind dagegen weitentwickelte, spàte
Abstraktionen. Nun ist die Handhabung der Geometrie *als logisches
System* àußerst schwerfàllig. Es fehlt die Überschaubarkeit. Die
Übersetzung geometrischer in algebraische Beziehungen ermöglicht
dagegen eine enorme Durchsichtigkeit, wie jeder Mensch weiß, der sich
jemals mit der hakeligen geometrischen Beweistechnik herumschlagen
musste. Diesem Vorteil steht leider ein Nachteil gegenüber. Viele
Leute, vorneweg die theoretischen Physiker, können Geometrie und
Algebra nicht mehr auseinanderhalten. Ein Grund mag sein, dass in der
heutigen mathematischen Ausbildung die Geometrie fast keine Rolle mehr
spielt. Es hat aber seinen guten Grund, wenn man in der Geometrie vom
"Kartesischen Modell" der euklidischen Geometrie spricht. Das
Zahlensystem ist ein *Modell der Sache*, es ist nicht die Sache
selbst. Die Sache selbst ist das euklidisch-geometrische
Axiomensystem, das auf einer Verbindung der inneren Anschauung mit
Sinneswahrnehmungen beruht und nicht etwa auf Messungen.

Stufe 3 hat mit Geometrie, Astronomie und Physik nichts mehr zu tun.
Ab der Mitte des 19. Jahrhunderts trat die Algebra gewissermaßen in
eine neue Phase ihrer Existenz. Die vielen verstreuten Ergebnisse
sammelten sich in einer Reihe von Strukturen wie "Gruppen", "Körper"
usw. Einbezogen in diesen Abstraktionsprozess war auch die
Differenzialgeometrie, was zum Begriff der differenzierbaren
Mannigfaltigkeit führte. Abstraktion heißt jedoch immer: Absehen von
bestimmten Besonderheiten einerseits, Herausheben der Gemeinsamkeiten
andererseits. Für den Koordinaten-Begriff heißt das: Absehen von
seiner Herkunft und von seinem ursprünglichen Sinn, statt dessen
Herausheben einer bestimmten Eigenschaft, nàmlich der 1-zu-1-Zuordnung
zwischen ràumlichen Punkten und Zahlentupeln. Nur wurden die
ràumlichen Punkte jetzt ersetzt durch abstrakte Mengenelemente. Die
Tatsache, dass irgendwelche Variablen jetzt auch Koordinaten heißen
und dass eine nicht-geometrische, rein topologisch-algebraische
Struktur den Namen "Riemannsche Geometrie" tràgt, hat historische
Gründe. Es sind dieselben Gründe, die dazu führen, dass mit "Rechner"
nicht mehr allein der rechnende Mensch gemeint ist, mit "Virus" auch
ein Schadprogramm bezeichnet wird und bestimmte Mengen in der
Mathematik auch "Ràume" heißen. Es liegt eine Namensübertragung
aufgrund gewisser Ähnlichkeiten vor. Derselbe Name heißt aber nicht,
dass es auch dieselbe Sache ist. Ein wenig mehr Nachdenken und ein
wenig mehr begriffliche Sorgfalt dürfte man von der Professorenschaft
eigentlich erwarten. Allerdings steht das manchmal dem gewünschten
Ziel entgegen.

Nun zurück zu Mosts Bemerkungen und zur RT.

Erstens: Die Lorentz-Transformation beansprucht physikalische
Bedeutung, denn sie gibt an, wie die Messwerte zwischen den ràumlichen
und zeitlichen Beziehungen zweier Beobachter angeblich "richtig"
umgerechnet werden müssen. Entsprechend sind die beiden zugeordneten
ràumlichen oder raum-zeitlichen Koordinatensysteme physikalisch
bedeutsam. Nebenbei wiederhole ich, dass die Zuordnung zwischen den
beiden Koordinatensystemen und den beiden Beobachtern nicht eindeutig
ist, was aber für RT-ler weit jenseits des Begreifbaren liegt. Im
Falle der Galilei-Transformation und der kartesischen
Koordinatensysteme plus Zeit spielt die Nicht-Eindeutigkeit keine
Rolle, weil die Systeme bis auf Verschiebung identisch sind und ein
Austausch an den Làngenverhàltnissen und Zeitdauern nichts àndert.
Diese Identitàt gibt die Gleichheit der Messwerte der Beobachter
wieder. In der SRT ist dagegen die Nicht-Eindeutigkeit wesentlich,
weil die durch Koordinatensysteme bestimmten Làngenverhàltnisse und
Zeitdauern unterschiedlich sind.

Zweitens: Herr Most und mit ihm seine relativistischen Freunde sind
sich über die physikalische Bedeutung des Koordinatenbegriffs nicht
ausreichend klar oder sind nicht sorgfàltig genug bei seiner
Benutzung. Diese Verworrenheit beruht auf der Theorie der
Mannigfaltigkeit, mit der sie zwar stàndig unprofessionell hantieren,
aber deren Koordinatenbegriff eben nicht der geometrisch-physikalische
Begriff ist sondern der einer rein mathematischen 1-zu-1-Zuordnung.
Das hat auch seine Berechtigung, denn die Mannigfaltigkeit ist ein
abstraktes Objekt (Beispiel: einparametrige Transformationsgruppe wie
SO(2)), das zwar eine geometrische oder physikalische Bedeutung haben
kann aber nicht muss. Die "Koordinate" einer Transformation ist im
genannten Beispiel einfach der Parameter, durch den sie bestimmt ist,
und der im Prinzip auch ziemlich beliebig sein kann (z. B. Winkel oder
x-Koordinate). Die Beliebigkeit der Koordinaten macht es natürlich
auch unmöglich, über sie in natürlicher Weise eine Entfernung (Metrik)
zwischen den Elementen der Mannigfaltigkeit zu definieren. Wie weit
entfernt sind beispielsweise zwei Transformationen? Gesetzt den Fall,
man hat eine von vielen möglichen Entfernungen definiert, inwieweit
ist diese spezifische Definition nun sinnvoll oder nur brotlose Kunst?
Die Metrik muss daher explizit festgelegt werden und in der Theorie
der Mannigfaltigkeiten sind Metrik und Koordinaten zwei völlig
verschiedene Dinge. In einer praktisch-messenden Wissenschaft sind sie
es nicht! Wenn also gesagt wird: "Die Koordinatensysteme selbst haben
keine physikalische Bedeutung", dann ist das richtig in einem abstrakt
mathematischen Sinn. Es ist falsch innerhalb einer messenden
Wissenschaft in dem oben beschriebenen Sinn. Andere Koordinatensysteme
als solche, die unmittelbar auf Grundgrößen wie Meter und Sekunde
sowie auf Winkeln basieren, werden überhaupt nicht verwendet und jede
Diskussion über solche Dinge erübrigt sich. Die Vermengung
innermathematischer mit physikalischen Sachverhalten kennzeichnet
leider die theoretische Physik heutiger Pràgung und ganz besonders die
RT. Aber es zeigt sich auch in der Diskussion um die Bellschen
Ungleichungen.

Einen dritten Punkt reiße ich aus Platzgründen nur an, nàmlich die
Erörterung der Frage, wieso man überhaupt auf den Gedanken kommt, sich
in der Physik über physikalisch sinnlose Koordinatensysteme zu
unterhalten. Das ist unmittelbare Folge der ART. Die Lorentz-
Transformation beantwortet in der SRT die Frage, wie die "richtige"
Umrechnung zwischen den Zeitangaben von zwei Inertialbeobachtern
stattfinden soll. Dies analog zur klassischen Galilei-Transformation.
In der klassischen Kinematik gibt es aber auch eine Umrechnung für
beschleunigt bewegte Beobachter. Alle diese klassischen Umrechnungen
lassen Làngenverhàltnisse und Zeitdauern unveràndert, invariant.
Einsteins Aufgabe wàre es gewesen, die aus der SRT bekannte
Aufgabenstellung "finde die richtige Transformation" auch in der ART
zu bewàltigen, also die Frage zu beantworten, wie die
Verallgemeinerung der Lorentz-Transformation aussieht, wenn einer der
beiden oder sogar beide Beobachter beschleunigt bewegt sind. An der
Lösung dieser Aufgabe ist er gescheitert und das ist auch kein Wunder.
Angesichts der unlösbaren Probleme kam Einstein auf den Gedanken, die
ursprüngliche Aufgabe durch eine andere zu ersetzen und seinen Lesern
und sich selbst einzureden, dies sei nun die wahre und echte Aufgabe!
Der verbale Eiertanz an der entsprechenden Stelle ist denkwürdig und
eine Meisterleistung angewandter Psychologie. Statt nach bestimmten
Transformationen physikalisch relevanter Koordinaten (Messdaten) zu
suchen betrachtet er *alle möglichen* Transformationen und sucht bei
ihnen nach invarianten Merkmalen. Der Gedanke klingt für Mathematiker
verführerisch, aber in Wirklichkeit stellt er *im konkreten Fall* das
zu lösende Problem von den Füßen auf den Kopf und führt schnurstracks
in gewaltige begriffliche Probleme. Die Schwierigkeiten beruhen
einerseits auf einer sehr ungenügenden, ganz oberflàchlich
durchgeführten Modellbildung (Analyse der physikalischen Sachverhalte)
und ihren Ersatz durch "Prinzipien", andererseits liegen sie in der
Umsetzung der mathematischen Begriffe in die Physik. Einen reinen
Mathematiker muss das natürlich nicht kümmern. Physiker sollten jedoch
nicht mit Werkzeugen hantieren, die sie nicht wirklich verstanden
haben. Ein in der Gedankenwelt der ART ungeschulter Mensch wird sich
zum Beispiel wundern, warum man dort von so sonderbaren Dingen wie
"Koordinatenuhren" redet, Uhren, die man weder im Handel noch im Labor
findet, was aber die selbsternannten Empiriker in keiner Weise stört.
Die Ideologie und die erlernte Phraseologie ersetzen völlig jede
Beobachtung und jede selbstkritische Überlegung.
 

Lesen sie die antworten

#1 ram
28/03/2010 - 17:23 | Warnen spam
Philo writes:
was diese Koordinaten sind und woher sie stammen. Das ist einerseits



Koordinaten einer (differenzierbaren) Mannigfaltigkeit haben
die Aufgabe, ihre Punkte zu bezeichnen, und kommen aus derem
Atlas (man muß im allgemeinen auch immer die verwendete
Karte mit den Koordinaten zusammen angeben).

Ein Koordinatensystem, das Làngenverhàltnisse und Winkel nicht
respektiert, jedenfalls in möglichst guter Nàherung, ist für
praktische Zwecke unbrauchbar.



Wenn man eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer
Metrik hat, dann kann man für diese WIMRE Pfadlànge.
Diese Metrik wiederum làßt sich mit Hilfe des Atlasses in
Koordinaten schreiben.

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