Koordinatenweise Konvergenz in beliebigen Vektorräumen

30/01/2011 - 16:43 von Stephan Gerlach | Report spam
Gibt es folgenden Konvergenzbegriff - ich würde ihn "koordinatenweise
Konvergenz" nennen - bereits?


Sei V ein beliebiger reeller Vektorraum.
Sei (e_i)_{i \in I} eine Basis von V.
Sei (x_n)_{n \in N} eine Folge von Elementen x_n aus V.
Für jedes x_n sei

x_n = Summe{i \in I_n} a_{i,n}*e_i [1]

die Darstellung von x_n aus den Basisvektoren e_i mit reellen
Koeffizienten a_{i,n}. Für jedes n ist dabei die Indexmenge I_n (eine
Teilmenge von I), über die summiert wird, endlich mit m_n Elementen.

Es gelte nun:

(I) Für jedes i\in I gelte
lim_{n -> oo} a_{i,n} = a_i
mit einer reellen Zahl a_i. (Nach [1] "nicht vorkommende Koordinaten"
a_{i,n} seien hierbei als 0 definiert.)
(II) Für "die meisten" i\in I gelte
lim_{n -> oo} a_{i,n} = 0,
genauer gelte für nur *endlich* viele i\in I
lim_{n -> oo} a_{i,n} != 0.
Die Menge aller i\in I, für die ungleich 0 gilt, sei mit I_a bezeichnet.

Dann nenne ich(?) per Definition das Element

x = Summe{i \in I_a} a_i * e_i

den "koordinatenweisen Limes" der Folge (x_n)_{n \in N}.
Zumindest die Summe ist wohldefiniert, da endlich.


Wie schon gefragt: Gibt es diesen Konvergenzbegriff bereits? Oder hàngt
die Definition von der verwendeten Basis ab, d.h. kann es sein, daß eine
Folge in der Basis (e_i)_{i \in I} koordinatenweise konvergiert, in
einer anderen Basis (f_j)_{j \in I} aber nicht?

Beweisversuch der Aussage, daß die Definition *nicht* von der gewàhlten
Basis abhàngt:

Sei die Folge (x_n)_{n \in N} koordinatenweise konvergent in der Basis
(e_i)_{i \in I}.
Für jeden Vektor f_j aus der anderen Basis (f_j)_{j \in I} gelte eine
Darstellung
e_i = Summe{j\in I_i} c_{j,i}*f_j,
wobei die Indexmenge I_i, über die summiert wird, endlich ist und von i
abhàngt. Definieren wir nun die Menge
J_n := Vereinigung_{i\in I_n} I_i,
so müßte J_n für jedes n endlich sein. (Definition von I_n siehe oben.)
Es gilt nun:

x_n = Summe{i\in I_n} a_{i,n} * e_i
= Summe{i\in I_n} a_{i,n} * [Summe{j\in I_i} c_{j,i}*f_j]
= Summe{i\in I_n} a_{i,n} * [Summe{j\in J_n} c_{j,i}*f_j]
= Summe{j\in J_n} [Summe{i\in I_n} a_{i,n}*c_{j,i}] * f_j
= Summe{j\in J_n} b_{j,n} * f_j.

Dabei definiere ich die "neuen" Koordinaten b_{j,n} von x_n gemàß
b_{j,n} := Summe{i\in I_n} a_{i,n}*c_{j,i}.

Nun wàre die Frage: Gilt im Limes das folgende

lim_{n -> oo} b_{j,n}
= lim_{n -> oo} [Summe{i\in I_n} a_{i,n}*c_{j,i}]
= Summe{i\in I_a} lim_{n -> oo} a_{i,n} * c_{j,i}
= Summe{i\in I_a} a_i * c_{j,i} ?

Insbesondere der Schritt von der 2. zur 3. Zeile ist nicht ganz sicher.
Denn obwohl jede der Mengen I_n endlich ist, muß deren Vereinigung
(sofern die hier relevant ist) nicht notwendig auch endlich sein.



Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
 

Lesen sie die antworten

#1 Norbert Marrek
30/01/2011 - 17:56 | Warnen spam
Am 30.01.2011 16:43, schrieb Stephan Gerlach:
Gibt es folgenden Konvergenzbegriff - ich würde ihn "koordinatenweise
Konvergenz" nennen - bereits?


Sei V ein beliebiger reeller Vektorraum.
Sei (e_i)_{i \in I} eine Basis von V.
Sei (x_n)_{n \in N} eine Folge von Elementen x_n aus V.
Für jedes x_n sei

x_n = Summe{i \in I_n} a_{i,n}*e_i [1]

die Darstellung von x_n aus den Basisvektoren e_i mit reellen
Koeffizienten a_{i,n}. Für jedes n ist dabei die Indexmenge I_n (eine
Teilmenge von I), über die summiert wird, endlich mit m_n Elementen.

Es gelte nun:

(I) Für jedes i\in I gelte
lim_{n -> oo} a_{i,n} = a_i
mit einer reellen Zahl a_i. (Nach [1] "nicht vorkommende Koordinaten"
a_{i,n} seien hierbei als 0 definiert.)
(II) Für "die meisten" i\in I gelte
lim_{n -> oo} a_{i,n} = 0,
genauer gelte für nur *endlich* viele i\in I
lim_{n -> oo} a_{i,n} != 0.
Die Menge aller i\in I, für die ungleich 0 gilt, sei mit I_a bezeichnet.

Dann nenne ich(?) per Definition das Element

x = Summe{i \in I_a} a_i * e_i

den "koordinatenweisen Limes" der Folge (x_n)_{n \in N}.
Zumindest die Summe ist wohldefiniert, da endlich.


Wie schon gefragt: Gibt es diesen Konvergenzbegriff bereits? Oder hàngt
die Definition von der verwendeten Basis ab, d.h. kann es sein, daß eine
Folge in der Basis (e_i)_{i \in I} koordinatenweise konvergiert, in
einer anderen Basis (f_j)_{j \in I} aber nicht?

Beweisversuch der Aussage, daß die Definition *nicht* von der gewàhlten
Basis abhàngt:

Sei die Folge (x_n)_{n \in N} koordinatenweise konvergent in der Basis
(e_i)_{i \in I}.
Für jeden Vektor f_j aus der anderen Basis (f_j)_{j \in I} gelte eine
Darstellung
e_i = Summe{j\in I_i} c_{j,i}*f_j,
wobei die Indexmenge I_i, über die summiert wird, endlich ist und von i
abhàngt. Definieren wir nun die Menge
J_n := Vereinigung_{i\in I_n} I_i,
so müßte J_n für jedes n endlich sein. (Definition von I_n siehe oben.)
Es gilt nun:

x_n = Summe{i\in I_n} a_{i,n} * e_i
= Summe{i\in I_n} a_{i,n} * [Summe{j\in I_i} c_{j,i}*f_j]
= Summe{i\in I_n} a_{i,n} * [Summe{j\in J_n} c_{j,i}*f_j]
= Summe{j\in J_n} [Summe{i\in I_n} a_{i,n}*c_{j,i}] * f_j
= Summe{j\in J_n} b_{j,n} * f_j.

Dabei definiere ich die "neuen" Koordinaten b_{j,n} von x_n gemàß
b_{j,n} := Summe{i\in I_n} a_{i,n}*c_{j,i}.

Nun wàre die Frage: Gilt im Limes das folgende

lim_{n -> oo} b_{j,n}
= lim_{n -> oo} [Summe{i\in I_n} a_{i,n}*c_{j,i}]
= Summe{i\in I_a} lim_{n -> oo} a_{i,n} * c_{j,i}
= Summe{i\in I_a} a_i * c_{j,i} ?

Insbesondere der Schritt von der 2. zur 3. Zeile ist nicht ganz sicher.
Denn obwohl jede der Mengen I_n endlich ist, muß deren Vereinigung
(sofern die hier relevant ist) nicht notwendig auch endlich sein.





Wie definierst du bei der Limesdefinition die Abstandsfunktion?
Das sollte dir weiterhelfen.

Aloha,
Norbert

Ähnliche fragen