Kreis und geometrischer Ort

04/08/2009 - 12:46 von Alfred Flaßhaar | Report spam
Folgende Aufgabe:

Gegeben seien ein Kreis K und in seinem Innern der Punkt P. Man bestimme den
geometrischen Ort der Mittelpunkte aller Kreise, die durch P verlaufen und K
im rechten Winkel schneiden (Tangentenschnittwinkel).

Viele Grüße, Alfred Flaßhaar
 

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#1 Robert Hartmann
04/08/2009 - 13:37 | Warnen spam
Alfred Flaßhaar schrieb:
Folgende Aufgabe:

Gegeben seien ein Kreis K und in seinem Innern der Punkt P. Man bestimme den
geometrischen Ort der Mittelpunkte aller Kreise, die durch P verlaufen und K
im rechten Winkel schneiden (Tangentenschnittwinkel).

Viele Grüße, Alfred Flaßhaar



Definition (orthogonale Kreise):
Ein Kreis K1 schneidet K2 im Punkt P im rechten Winkel,
genau dann, wenn sich die Tangenten der Kreise im Punkt P
im rechten Winkel schneiden.
K1 und K2 heißen zueinander orthogonal.

Klar ist: Zwei Kreise können
- sich schneiden
- sich in genau einem Punkt berühren
- identisch sein
- gànzlich verschieden von einander sein

Klar ist:
Schneiden sich der Kreise K1 den Kreis K2, so gibt es
genau zwei Schnittpunkte: A und B

Sei P ein Punkt innerhalb des Kreises K1,
und es gehöre P zu einem Kreis K2.

Es schneiden sich K1 und K2 im rechten Winkel,
d.h. es gibt Punkte A und B die zu K1 und K2 gehören.

Die drei Punkte A, B, P gehören alle zu K2,
also erfüllen sie die Kreisgleichung von K2,
d.h. die sind vom Mittelpunkt von K2 gleichweit
entfernt.

Die drei Punkte A, B, P bilden in jedem Fall ein
Dreieck.

Wenn dir das so nicht weiterhilft,
dann mach mal ein paar Zeichnungen:

Von zwei orthogonalen Kreisen.

Markiere die Schnittpunkte A, B.

Wàhle einen der Kreise als K1.

Wàhle einen Punkt aus K2,
der im Inneren des Kreises K1 liegt
als P.

Und betrachte dir die
Lage des Mittelpunktes von K2
in Bezug auf die drei Punkte A,B,P
oder besser Ihres Umkreises.


Der nàchste Schritt im zeichnerischen wàre,
P festzuhalten und die Lage des Kreis K2
"irgendwie zuveràndern",
dass P weiterhin zu K2 gehört und K2
immer noch K1 im rechten Winkel schneidet.
(Klar sollte dabei sein, dass sich die Positionen
der Kreisschnittpunkte A und B ebenfalls
veràndern.)

Deine Aufgabe besteht nun darin, das "irgendwie"
aus "irgendwie zuveràndern" nàher
zubestimmen.

Sobald du weißt, wie man die Lage des Kreises K2
veràndern muss, hast du schon eine Aussage
über einige Mittelpunkte von Kreisen K2', die
P enthalten und den Kreis K1 im rechten Winkel schneiden.


Vielleicht sind in dem Zusammenhang
für dich die Kapitel

"2. Ein Axiomensystem der Geometrie"

"6.1 Grundlagen der EUKLIDischen Kreisgeometrie"

aus

"Der hyperbolische Raum zur Datenvisualisierung
- Mathematische Grundlagen und Algorithmen"

http://www2.inf.h-brs.de/~rhartm2m/tuc/hsom/1dipl_vis-hsom_rh2008.pdf

interessant.

Gruß Robert

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