Kreisschnittflächen

14/01/2008 - 10:41 von Stephan Lukits | Report spam
Hallo,
ein Freund gab nachstehendes Problem an mich weiter,
bei dem ich zu keiner befriedigend Lösung komme, obwohl
es recht einfach klingt. Da ich mit Geometrie und
Analysis zur Zeit recht wenig zu tun habe, dachte
ich, vielleicht kann hier jemand Helfen:

Gegeben seien zwei Kreise, wobei der der Mittelpunkt
des zweiten Kreises auf dem ersten liegt. Man bestimme
den Radius des zweiten Kreises so, dass die Schnittflàche
der Kreisflàchen, die halbe Flàche des ersten Kreises ist.

Der Einfachheit halber sei der erste Kreis der Einheitskreis
dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt:

K1 := { (x,y) | x² + y² = 1 }

Der Mittelpunkt des zweiten Kreises sei der Schnittpunkt des
ersten Kreises mit der Ordinate:

S := (0,1)

Damit ist der zweite Kreis:

K2 := { (x,y) | x² + (y-1)² = r² }

Aus der Aufgabenstellung folgt mit "wie leicht zu sehen ist",
dass die beiden Schnittpunkte K1 n K2 bezüglich der Abszisse
zwischen dem positiven und negativem Radius des ersten
Kreises liegen und damit auch die gesuchte Flàche. Also lassen
sich auf dem Bereich die beiden relevanten Kreissegmente als
stetig-diff.-bare Funktionen definieren, womit sie
integrierbar sind.

k1: ]-1,1[ > |R, (x) |--> sqrt(1-x²),
(da hier nur der "obere" Halbkreis interessiert)

2 - sqrt(4-x²+1-r²)
k2: ]-1,1[ > |R, (x) |--> --
2
wegen:
x² + (y - 1)² = r² <==> x² + y²-2y+1 = r²
<==> y²-2y +x²+1-r² = 0
2 - sqrt(4-x²+1-r²)
==> y = --
2
(da hier nur der "untere" Halbkreis interessiert)

Aus Symmetriegründen reicht es nur den ersten Quadranten
zu betrachten.

K1 n K2 = { (x,y) | x²+y²=1 & x² + (y-1)² = r² }

(i) y = sqrt(1-x²), (ii) x² + (y-1)² = r²

(i) in (ii):

x²+(sqrt(1-x²) -1)² = r²
<==> x² + 1-x² -2sqrt(1-x²) + 1 = r²
<==> sqrt(1-x²) = (2 - r²)/2
<==> x² = 1-((2-r²)/2)²
==> x = sqrt(1-((2-r²)/2)²) =:x(K1 n K2)
(der negative x-Wert interessiert uns ja nicht.)

Jetzt noch

x(K1 n K2)
´`
2* | k1 - k2 dx = pi

0

ausrechnen und nach r auflösen? Ich vermute allerdings,
dass das nicht geht?

Weil wir gerade beim Thema sind, kennt jemand eine ausfüüührliche
und seeehr elementare Einführung in die konstruktive und
analytische Geometrie der Ebene. Etwas, dass sich idealerweise
als Bettlektüre eignet? (Die Ebene Geometrie von Walter Benz
z.B. ist mir für meine derzeitigen Zwecke zu technisch.)
Etwa in dem Stil von Paul Halmos' Naiver Mengenlehre.

Gruß und Dank
Stephan
 

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#1 Klaus Nagel
14/01/2008 - 11:27 | Warnen spam
Stephan Lukits wrote:

Gegeben seien zwei Kreise, wobei der der Mittelpunkt
des zweiten Kreises auf dem ersten liegt. Man bestimme
den Radius des zweiten Kreises so, dass die Schnittflàche
der Kreisflàchen, die halbe Flàche des ersten Kreises ist.





Diese Frage wird hier hàufig gestellt; sie ist deshalb schon bei den
FAQs (Frequently asked Questions) aufgenommen:

http://www4.in.tum.de/~webertj/ol/dsm/faq.pdf

unter dem Namen "Ziege auf kreisförmiger Wiese".

Gruß,
Klaus Nagel

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