Kritik erwünscht

25/10/2008 - 16:22 von WM | Report spam
Beim Blàttern in alten Aufzeichnungen ist mir ein sehr einfacher
Gedanke aufgefallen, den ich damals nicht weiter verfolgt habe.
Allerdings weiß ich nicht mehr, ob es Gegenargument gab oder einfach
die Zeit fehlte.

Die Menge aller Dezimaldarstellungen der rationalen Zahlen (inklusive
der doppeldeutigen) ist abzàhlbar, kann also in Form einer Liste
geschrieben werden. Ist es möglich, diese Liste so anzuordnen, dass
die Diagonalzahl periodisch ist, also zum Beispiel
0,123456789012345678901234567890...? Da die Dezimalziffern gleichmàßig
verteilt sind, sollte eigentlich nichts dagegen sprechen - zumindest
unter Voraussetzung von "countable choice". Dann wàre die durch eine
beliebige Ersetzungsregel erzeugte Diagonalzahl ebenfalls rational.

Gruß, WM
 

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#1 Herbert Newman
25/10/2008 - 17:21 | Warnen spam
Am Sat, 25 Oct 2008 07:22:33 -0700 (PDT) schrieb WM:


Allerdings weiß ich nicht mehr, ob es Gegenargument gab oder einfach
die Zeit fehlte. [...]



Aufgrund ihrer "Konstruktion" kann KEINE Liste ihre "Anti-Diagonale" ent-
halten. Wenn also die Anti-Diagonale eine rationale Zahl ist, dann kann die
Liste von rationalen Zahlen (die ihr "zugrunde liegt") diese Zahl nicht
enthalten. DENN wenn

(d_i)

die Folge der Dezimalziffern der Anti-Diagonale ist, und

. a_11 a_12 a_13 ...
. a_21 a_22 a_23 ...
. a_31 a_32 a_33 ...
:

die in Rede stehende Liste. Dann gilt (aufgrund der "Konstruktion" der
Anti-Diagonale):

d_1 =/= a_11
d_2 =/= a_22
d_3 =/= a_33
:

D. h. d = . d_1 d_2 d_3 ... unterscheidet sich von ALLEN Zahlen, die in der
Liste enthalten sind. (Denn sie unterscheidet sich von jeder einzelnen Zahl
in der Liste an mindestens einer Stelle.)


Herbert


P.S. Die Problematik der doppelten Darstellungen bzw. der Neunerenden habe
ich hier der Einfachheit halber nicht explizit angesprochen. [...]

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