Kurvendiskussion

09/04/2009 - 23:36 von Andreas Pflug | Report spam
Hallo,

mein "Diskussionsthema" ist die zunàchst harmlos
erscheinende Funktion

f0(x,a) = 1 - exp(-(x^h))

Dabei sind x und a reelle Zahlen mit x>=0 und 0<a<=1.

Wenn man f(x,a) doppelt logarithmisch plottet (also log(f(x)) über log(x)),
ergibt sich ein Graph, der für kleine Werte annàhernd
linear ansteigt und dann nach einem (abgerundeten)
"Knickpunkt" in die Horizontale übergeht.

Ich würde nun gerne die Position des "Knicks" auf der
logarithmisierten x-Achse in Abhàngigkeit des Exponenten h bestimmen.

Mein Ansatz: Der Knickpunkt ist durch maximale Krümmung gekennzeichnet,
also müsste man die Funktion in der doppelt-logarithmischen
Skalierung mindestens drei mal ableiten, da die zweite Ableitung ja
die Krümmung ergibt und davon das Maximum gesucht ist
(-> Nullstelle in der dritten Ableitung sowie weitere Cross-Checks
in höheren Ableitungen).

Die Ableitung in der doppelt-logarithmischen Skalierung
funktioniert m. E. mit Hilfe der Kettenregel etc. wie folgt:

d ln(f0(x,a)) x d f0(x,a)
f1(x,a) := - = *
d ln(x) f0(x,a) d x

Analog dazu rechne ich die höheren Ableitungen aus. Spàtestens
bei der dritten Ableitung hat man so eine vollwertige Ersatzbeschàftigung
für Sudoku-Ràtsel und Ähnliches gefunden...

Da ich mit Computer-Algebra-Systemen bisher nicht sonderlich
viel zu tun habe und z. B. Open-Source CAS-Systeme wie Maxima
bereits für f3(x,a) bildschirmseiten-füllende Ausdrücke
produzieren, habe ich die Ableitungen "wie damals" mit
Papier & Bleistift gerechnet und mittels Gnuplot mit den
geplotteten CAS-Ausdrücken verglichen.

Seltsam daran ist nun, dass nicht die dritte sondern die vierte
doppelt-logarithmische Ableitung an Stelle des Knicks die Nullstelle
hat, die dritte Ableitung f3(x,a) hat dort stattdessen ein Maximum.

Hat jemand hierfür eine Erklàrung (evtl. irgendwo doppelte Nullstelle(?))
oder hat evtl. meine Vorgehensweise irgendwo einen Denkfehler?
Für Kommentare hierzu wàre ich dankbar.

MfG

Andreas
 

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#1 Andreas Pflug
09/04/2009 - 23:37 | Warnen spam
Andreas Pflug wrote:

Nachtrag

f0(x,a) = 1 - exp(-(x^h))

Dabei sind x und a reelle Zahlen mit x>=0 und 0<a<=1.



Bevor sich jemand wundert, ich meinte x>=0 und 0<h<=2.

MfG

Andreas

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