L2 Limes messbar

06/01/2010 - 01:38 von m1ch1 | Report spam
Hallo Leute,
wàre schön wenn mir einer bei folgender Fragestellung weiterhelfen
könnte:
Ist folgende Aussage richtig (bitte Begründung,evtl.
Literaturhinweis):
Ich habe eine Menge U und darauf eine Sigma-Algebra A und eine Unter-
Sigma-Algebra C von A, sowie ein Maß P auf A.
Betrachte eine Folge von Funktionen fn aus L2(U,C,P) diese konvergiere
gemàß der L2 Norm gegen eine Funktion f aus L2(U,A,P). Ist f dann
bereits C-messbar???

Das würde begründen warum L2(U,C,P) abgeschlossen ist in L2(U,A,P).
Schöne Grüße
Michi
 

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#1 Martin Vaeth
06/01/2010 - 15:49 | Warnen spam
m1ch1 schrieb:

Ist folgende Aussage richtig (bitte Begruendung,evtl.
Literaturhinweis):



Klingt fuer mich so, als solltest Du das in anderer Terminologie
in Buechern ueber Wahrscheinlichkeitsrechnung finden (bedingter
Erwartungswert u.ae.), ich gehe deswegen aber jetzt nicht in die
Buecherei.

Ich habe eine Menge U und darauf eine Sigma-Algebra A und eine Unter-
Sigma-Algebra C von A, sowie ein Mass P auf A.
Betrachte eine Folge von Funktionen fn aus L2(U,C,P) diese konvergiere
gemaess der L2 Norm gegen eine Funktion f aus L2(U,A,P). Ist f dann
bereits C-messbar???



Beweisidee: Die fn konvergieren im Mass (oder fuer eine Teilfolge
fast ueberall) gegen f und koennen selbst im Mass durch
C-einfache Funktionen f{n,k} approximiert werden. Daher gibt es k_n,
so dass f durch f{n,k_n} im Mass (oder fuer eine Teilfolge fast ueberall)
approximiert werden kann.

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