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Lagrange-Funktion mit Matrizen schreiben

09/06/2008 - 23:42 von Alexander Erlich | Report spam
Hallo,

ich höre Theoretische Physik im zweiten Semester, Thema ist
analytische Mechanik.

Mir ist begegnet, dass man die Lagrange-Funktion (immer?) in dieser
Form schreiben kann:

1/2*((\phi'_1), \phi'_2)*T*(\phi'_1;\phi'_2)-1/2*((\phi_1),
\phi_2)*V*(\phi_1;\phi_2)

Dabei sind T und V Matrizen (ich weiß nichts genaues darüber); mit
( , ) habe ich den Zeilenvektor, mit ( ; ) den Spaltenvektor
gekennzeichnet.

Ich frage mich, warum das geht, und wie dies praktisch aussieht? Wir
haben mysteriöse Matrizen und Vektoren mit gepunkteten (in T) und
ungepunkteten (in V) Größen, diese mit Matrizen multipliziert ergeben
wieder Vektoren, und diese wieder mit (Zeilen-)Vektoren wirken wie ein
Skalarprodukt, also haben wir L tatsàchlich als Skalar. Aber wie
funktioniert das genauer? Wozu kann ich diese Darstellungsform nutzen?

Gruß
JRRT0lkien
 

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#1 Norbert Dragon
10/06/2008 - 12:52 | Warnen spam
* Alexander Erlich schreibt:

ich höre Theoretische Physik im zweiten Semester, Thema ist
analytische Mechanik.

Mir ist begegnet, dass man die Lagrange-Funktion (immer?) in dieser
Form schreiben kann:

1/2*((\phi'_1), \phi'_2)*T*(\phi'_1;\phi'_2)-1/2*((\phi_1),
\phi_2)*V*(\phi_1;\phi_2)



Das ist, bei konstanten, positiv definiten Matrizen die
Lagrangefunktion des zweidimensionalen, harmonischen Oszillators

L = 1/2 m [(d phi_1/dt)^2 + (d phi_2/dt)^2] +

+ 1/2 m omega_1^2 phi_1^2 + 1/2 m omega_2^2 phi_2^2 .

Denn jede reelle quadratische Form

1/2*((phi'_1), phi'_2)*T*(phi'_1;phi'_2)

kann nach dem Satz von Sylvester als Summe von Quadraten geschrieben
werden -- das sind die ersten beiden quadratischen Terme, die
kinetische Energie.

Die quadratische Form

-1/2*((phi_1),phi_2)*V*(phi_1;phi_2)

kann durch eine Drehung in die Form

1/2 m omega_1^2 phi_1^2 + 1/2 m omega_2^2 phi_2^2

gebracht werden. Dabei behàlt die kinetische Energie ihre Form.

Seite 96
http://www.itp.uni-hannover.de/~dragon/stonehenge/rech.pdf

Aberglaube bringt Unglück

www.itp.uni-hannover.de/~dragon

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