Lagrange Typ 1 Beispiel

13/07/2009 - 18:12 von Stefan Sprungk | Report spam
Ich möchte zum Verstàndnis der Ermittlung der Zwangskràfte ein einfaches
Beispiel behandeln.

Reibungsfreier Massepunkt auf der schiefen Ebene.

1. Zwangsbedingung
f(x,y)=tan(alpha)*x-y=0

@f/@x=tan(alpha)
@f/@y=-1


2. Zwangskraft
Z=L*tan(alpha)*ex-L*ey

3. Bewegungsgleichungen
m*x''=m*g*sin(alpha)*cos(alpha)+L*tan(alpha)
m*y''=m*g-L

4. Nebenrechnung
y=x*tan(alpha)
y'=x'*tan(ahlpa)
y''=x''*tan(alpha)

5. Einsetzen und nach L auflösen
m*x''=m*g*sin(alpha)*cos(alpha)+L*tan(alpha)
m*x''=m*g/tan(alpha)-L/tan(alpha)

0=m*g*[sin(alpha)-cos(alpha)/sin(alpha)]+L*[tan(alpha)-1/tan(alpha)]

L=-m*g*[sin(alpha)-cos(alpha)/sin(alpha)]/[tan(alpha)-1/tan(alpha)]
L=-m*g*[sin(alpha)-cos(alpha)/sin(alpha)]/[tan(alpha)-cos(alpha)/sin(alpha)]
L=-m*g*cos(alpha)*[sin(alpha)^2-cos(alpha)]/[sin(alpha)^2-cos(alpha)^2]
L=m*g*cos(alpha)*[sin(alpha)^2-cos(alpha)]/cos(2*alpha)
L=m*g*cos(alpha)*sin(alpha)^2/cos(2*alpha)-m*g*cos(alpha)/cos(2*alpha)

Ich komme bei diesem Beispiel nicht weiter. Der Winkel 45 Grad liefert
den Wert unendlich für den Lagrange Multiplikator. Bei anderen
Beispielen z.B. Pendel bekomme ich àhnlich unsinnige Ergebnisse. Es muss
also noch am Verstàndnis klemmen.

Erwarten würde ich L=m*g*cos(alpha)

MFG Stefan
 

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#1 Andreas Most
13/07/2009 - 18:18 | Warnen spam
Stefan Sprungk writes:

Ich möchte zum Verstàndnis der Ermittlung der Zwangskràfte ein einfaches
Beispiel behandeln.

Reibungsfreier Massepunkt auf der schiefen Ebene.

1. Zwangsbedingung
f(x,y)=tan(alpha)*x-y=0

@f/@x=tan(alpha)
@f/@y=-1


2. Zwangskraft
Z=L*tan(alpha)*ex-L*ey

3. Bewegungsgleichungen
m*x''=m*g*sin(alpha)*cos(alpha)+L*tan(alpha)
m*y''=m*g-L



Hier stimmt was mit den Bewegungsgleichungen nicht. Die Schwerkraft
wirkt nur in y-Richtung nicht aber in x-Richtung. Es sollte heißen:

m*x''= L*tan(alpha)

Ich hoffe, dann kommt es richtig raus.

Andreas.

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