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Laieneinwand Cantors 2. Diagonalargument (mal wieder)

12/05/2015 - 15:14 von Yal el Tanim | Report spam
Sehr geehrte Google-Groups-Gemeinde,

ich habe eine Bitte bei diesem Thread: Lasst uns höflich diskutieren :) Jemand, welchen die Beschrànktheit meines Denkens und die Langsamkeit meines Verstàndnisses über alle Maßen stört, ist keineswegs gezwungen sich mit diesem Thread zu befassen. Allen Geduldigen möchte ich hingegen herzlichen Dank aussprechen! ;)

Ich habe folgendes persönliche Verstàndnisproblem mit Cantors 2. Diagonalargument:

Für endliche Mengen von i verschiedenen irrationalen Zahlen ist das Argument (selbst für mich) leicht einzusehen. Man sollte dann die Diagonalzahl anders definieren: Z.B. r="Pi, nur dass ich die i ersten Stellen wie gewohnt abàndere". Damit ist sicher gestellt dass r eine irrationale Zahl ist, die nicht in der Liste bereits vorkommt.

Was passiert aber für die Menge aller irrationalen Zahlen? Man könnte auf die Idee kommen, dass die Konstruktion von r dann gar nicht möglich ist. Wie beweist man also, dass die Diagonalzahl überhaupt gebildet werden kann? Immerhin kann man sie nicht konkret angeben, sondern nur die Vorschrift zu ihrer Bildung, die zudem unendlich viele Schritte braucht. Welche Methode wendet man dazu an, zu zeigen dass die Diagonalzahl existiert?

Ich denke dabei immer analog an die natürlichen Zahlen. Dort kann ich bei einer endlichen Menge von i verschiedenen natürlichen Zahlen immer eine Zahl n bilden {Z.B. n = Summe aller Zahlen der Indizes i}, die außerhalb dieser endlichen Menge liegt. Hier könnte ich also auch behaupten dies ginge ebenso bei der unendlichen Menge aller natürlichen Zahlen.

Warum kann man willkürlich sagen, dass die unendliche Menge der natürlichen Zahlen eine Konstruktion eines außerhalb liegenden Elements verbiete? Klar, ich brauche unendliche viele Schritte für die Konstruktion und ich kann diese Zahl für i--> unendlich gar nicht mehr konkret angeben (für endliche Mengen aber schon). Allerdings kann ich die Diagonalzahl für i--> unendlich auch niemals konkret angeben (für endliche Mengen aber schon), sondern nur die Vorschrift zu ihrer Bildung. Warum ist die Vorschrift zur Bildung der Diagonalzahl im Grenzfall i--> unendlich immer noch erlaubt, die Vorschrift zum Bilden eines weiteren Elementes außerhalb der Menge natürlicher Zahlen hingegen im Grenzfall ungültig/verboten?

Was für die Konstruktion einer Zahl aus den Elementen endlicher Mengen gilt, gilt offenbar nicht für unendliche Mengen. Durch welchen Beweis kann man annehmen, dass die Diagonalzahl einer unendlichen Menge überhaupt existiert?

Besten Dank & freundliche Grüße, Yal el Tanim
 

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#1 Sam Sung
12/05/2015 - 15:21 | Warnen spam
Yal el Tanim schrieb:

Was passiert aber für die Menge aller irrationalen Zahlen?
Man könnte auf die Idee kommen, dass die Konstruktion von r
dann gar nicht möglich ist. Wie beweist man also, dass die
Diagonalzahl überhaupt gebildet werden kann?



1.) Es werden ja in jedem immer mehr Diagonalzahlen,
2.) Man kann unendliche Mengen NICHT konstruieren (weil jede
endlich-fache Vereinigung endlicher Mengen endlich bleibt).

Welche Methode wendet man dazu an, zu zeigen dass die Diagonalzahl
existiert?



Simpel: Nimm an, sie existiere nicht und betrachte die Folgen.

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