Längste Geodäte

21/05/2010 - 12:35 von Alfred Flaßhaar | Report spam
Hallo,

durch eine Knobelaufgabe in drd kam mir folgende differentialgeometrische
Frage in den Sinn, die ich selber noch nicht beantworten konnte. Vielleicht
kann jemand Literaturhinweis oder andere Tips geben auf die Lösung folgender
Frage, die auch in die Variationsrechnung gehört.

Im 3-dim. Euklidischen Raum sei eine geschlossene Flàche mit z. B. nur einem
Loch (Torus) gegeben. Sie muß also nicht unbedingt abwickelbar sein. Zu zwei
gewàhlten Punkten gibt es dann (auf die Darstellung weiterer Voraussetzungen
verzichte ich hier) eine kürzeste Verbindung (Geodàte). Wie berechnet man
die Lage zweier Punkte auf der Flàche, daß ihre Geodàte maximal lang wird?

Numerisch habe ich das im Griff. Aber mich interessiert, ob es für eine
Klasse hinreichend glatter Flàchen eine einfache elegante Lösung gibt.

Freundliche Grüße, Alfred Flaßhaar
 

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#1 Roland Franzius
21/05/2010 - 13:41 | Warnen spam
Alfred Flaßhaar schrieb:
Hallo,

durch eine Knobelaufgabe in drd kam mir folgende
differentialgeometrische Frage in den Sinn, die ich selber noch nicht
beantworten konnte. Vielleicht kann jemand Literaturhinweis oder andere
Tips geben auf die Lösung folgender Frage, die auch in die
Variationsrechnung gehört.

Im 3-dim. Euklidischen Raum sei eine geschlossene Flàche mit z. B. nur
einem Loch (Torus) gegeben. Sie muß also nicht unbedingt abwickelbar
sein. Zu zwei gewàhlten Punkten gibt es dann (auf die Darstellung
weiterer Voraussetzungen verzichte ich hier) eine kürzeste Verbindung
(Geodàte). Wie berechnet man die Lage zweier Punkte auf der Flàche, daß
ihre Geodàte maximal lang wird?

Numerisch habe ich das im Griff. Aber mich interessiert, ob es für eine
Klasse hinreichend glatter Flàchen eine einfache elegante Lösung gibt.



Auf einem einfachen ebenen oder einem in R^3 eingebetteten euklidischen
Torus S_1xS_1 kann man zur Verbindung zweier Punkte beliebig lange
Geodàten finden, die sich hinreichend oft von Rand zu Rand resp durch
das Loch winden.


Roland Franzius

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