Lineare Ausgleichsprobleme

17/02/2012 - 21:38 von Thomas Plehn | Report spam
gegeben das lineare Ausgleichsproblem
|Ax-b| -> min

mit Optimallösung x = A^+ * b
A^+ ist die Pseudoinverse

nun ist die Optimallösung bekannterweise die Orthogonalprojektion von b
auf Bild A

und es ist auch x = A^+ * b \in Bild A

nun muss doch gelten:

b - A^+ * b \in Ker A

aber irgendwie kann ich das nicht einsehen

kann mir irgendwer auf die Sprünge helfen?
 

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#1 Thomas Plehn
18/02/2012 - 16:25 | Warnen spam
Am 17.02.2012 21:38, schrieb Thomas Plehn:
gegeben das lineare Ausgleichsproblem
|Ax-b| -> min

mit Optimallösung x = A^+ * b
A^+ ist die Pseudoinverse

nun ist die Optimallösung bekannterweise die Orthogonalprojektion von b
auf Bild A

und es ist auch x = A^+ * b \in Bild A

nun muss doch gelten:

b - A^+ * b \in Ker A

aber irgendwie kann ich das nicht einsehen

kann mir irgendwer auf die Sprünge helfen?



gefunden habe ich:

Satz
Es gibt genau eine Pseudonormallösung x von (1).
Diese ist charakterisiert durch x \in Kern(A)_|_ n L.

wobei L die Lösungsmenge ist





was hat das mit der Projektion

b = b' \in Bild(A) + b'' \in Kern(A)
zu tun?




in diesem Falle wàre nàmlich
x mit
Ax = b'
die Lösung

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