Lineare Operatoren, spezielle Beispiele

06/01/2011 - 22:50 von Stephan Gerlach | Report spam
Seien X ein Banachraum sowie Y ein normierter Raum (nicht unbedingt ein
Banachraum). Gibt es dann eigentlich ein Beispiel für Ràume X, Y sowie
einen linearen stetigen Operator
T: X->Y
derart, so daß das Bild T(X) als Teilmenge von Y *nicht* abgeschlossen
ist? Oder ist dies unmöglich? Mir fàllt allerdings keine (einfache)
Begründung ein, diese Unmöglichkeit zu begründen. Gebe ich mir eine
Folge (T(x_n))_{n e N} von Elementen aus T(X) vor, welche in Y
konvergiert, d.h.

lim_{n->oo} T(x_n) = y

mit y e Y, so komme ich irgendwie nicht dahin, daß y *auch* im Bild T(X)
liegen muß. Die Folge (x_n)_{n e N} muß nàmlich nicht konvergieren, wie
man bereits an trivialen Beispielen sieht.


Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
 

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#1 Hans Crauel
07/01/2011 - 00:22 | Warnen spam
Stephan Gerlach schrieb
Seien X ein Banachraum sowie Y ein normierter Raum (nicht unbedingt ein
Banachraum). Gibt es dann eigentlich ein Beispiel für Ràume X, Y sowie
einen linearen stetigen Operator
T: X->Y
derart, so daß das Bild T(X) als Teilmenge von Y *nicht* abgeschlossen
ist? Oder ist dies unmöglich? Mir fàllt allerdings keine (einfache)
Begründung ein, diese Unmöglichkeit zu begründen.



Nimm als X den Raum C[0,1] mit der Supremumsnorm und als Y
den Raum L^1[0,1] mit der L^1-Norm (ist auch ein Banach-Raum).
Die Identitaet ist stetig, das Bild, naemlich C[0,1], ist
dicht in L^1[0,1] und somit offenkundig nicht abgeschlossen
(in der L^1-Topologie, natuerlich, was die Topologie von Y
ist).
[Strenggenommen muesste man statt von der `Identitaet' von der
durch die Identitaet auf Aequivalenzklassen induzierten Abbildung
sprechen, und das Bild sind ebenfalls die Aequivalenzklassen von
Elementen von C[0,1].]

Hans Crauel

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