Lineare Regression - zzgl. Korrektur über 2 oder 3 Werte

28/06/2010 - 19:03 von Andreas Bauer | Report spam
Hallo Zusammen,
DANKE für die Unterstützung vorab.
Ich denke, es ist besser nur zu diesem Thema ein neuer Thread zu
starten, sonst blickt man es nicht mehr.

Die genaue Beschreibung.
Weiter unklar ist, warum ich mit der A^T erweitern muss.
@ Jutta wo kann ich das nachlesen.

A * x = B
Wo kann ich das lesen, dass ich diese Formel benötige?
Step 1 - Grundkalibrierung
http://www1.minpic.de/bild_anzeigen.php?id5791&keyR087234&ende

Step 2 - Das Ziel ist ja das Werkstück zu bedrucken.
Hier muss die Position passen.
Nun kann es ja sein, dass die nicht alle Werkstücke gleich
geklemmt/fixiert werden.
Also vermisst man zuerst Marken (Kreuze, Kreise, etc)
Diese Marken sind auf dem Werkstück und genau.
Man fàhrt also mitr der Achse zu den Koordinaten
http://www1.minpic.de/bild_anzeigen.php?id5791&keyR087234&ende

Step 3: Wenn Kalibrierung io, sollten alle Punkte unter Kamera im
Zentrum sein.
Wenn nicht, muss korrigiert werden.
Kamera liefert relative Werte, Wie kann man das jetzt
verrechnen?
Die relativen Werte, kann mir das jemand genauer erlàutern.
Ich denke, die Wegstrecke muss auch irgendwie miteinfließen.
Es ging bis dato nicht klar hervor.
Gerne auch ein Bild zum besseren Verstàndnis veröffentlichen.

http://www1.minpic.de/bild_anzeigen.php?id5794&keyf252920&ende

Step 4: Berechnung soll mit 2 oder 3 Marken gehen.
http://www1.minpic.de/bild_anzeigen.php?id5793&key4834806&ende

Herzlichen Dank für nützliche Tipps, konkrete Anleitungen und
Hinweise
Ich hoffe es ist nun klar.

@Karl Heinz, Thomas, kannst du mir das einfach aufzeigen, wenn es so
einfach ist.

http://www1.minpic.de/bild_anzeigen.php?id5470&key946926&ende

Schöne Woche noch

Grüße Andreas
 

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#1 Bastian Erdnuess
28/06/2010 - 20:04 | Warnen spam
Andreas Bauer wrote:

Weiter unklar ist, warum ich mit der A^T erweitern muss.



Ich hab deinen Thread nicht verfolgt, und weiß daher nicht, in welchem
Kontext das steht, ich hab nur eine Vermutung.

Wenn du ein GLS wie

Ax = b

wie

[1 1] [x] [2]
[1 2]*[y] = [3]

hast, dann kannst du das mit der Inversen von A lösen, also

x = A^(-1) b

mit

[1 1]-1 [ 2 -1]
[1 2] = [-1 1]

also im Beispiel

[x] [ 2 -1] [2] [1]
[y] = [-1 1]*[3] = [1] .

Wenn du aber ein überbestimmtes Gleichungssystem wie

[1 1] [2]
[1 2]*[x] = [3]
[2 3] [y] [4]

hast, dann geht das nicht so. Zum einen hat dieses GLS in der Form gar
keine Lösung, und zum anderen ist die Koeffizientenmatrix A auch gar
nicht quadratisch und damit erst recht nicht invertierbar.

Was man nun machen kann ist, das GLS mit A^T von links zu erweitern,
also das GLS

A^T A x = A^T b

zu betrachten. Mit B = A^T A und c = A^T b ist das

Bx = c .

Im Beispiel ist das also

[1 1] [2]
[1 1 2]*[1 2]*[x] = [1 1 2]*[3]
[1 2 3] [2 3] [y] [1 2 3] [4]

oder ausmultipliziert

[6 9] [x] [13]
[9 14]*[y] = [20]

Das ist nun wieder lösbar, und zwar mit der alten Methode von vorhin, es
ist also

x = B^(-1) c

oder im Beispiel

[x] [14/3 -3] [13] [2/3]
[y] = [ -3 2]*[20] = [ 1 ] .

Nun haben wir eine Lösung für das neue GLS gefunden. Diese löst nur
leider unser altes GLS nicht

[1 1] [ 5/3] [2]
[1 2]*[2/3] = [ 8/3] =/= [3] .
[2 3] [ 1 ] [13/3] [4]

Von dem alten GLS wussten wir aber schon vorher, dass es gar keine
Lösung gibt, jetzt haben wir wenigstens irgendeine "Lösung". Die Frage
ist aber, können wir die Lösung für das neue GLS in gewisser Weise auch
als "die Lösung" unseres Alten GLS gebrauchen?

Da zeigt sich nun, in gewissem Sinne, ist diese Lösung sogar die "best
Mögliche" Lösung für unser altes GLS. (Im Sinne der geringsten
Fehlerquadrate).

Es gilt also

Die Lösung von

A^T A x = A^T b

ist die "beste Lösung" für

A x = b

falls dieses GLS überbestimmt ist.

Warum das so ist, kann ich dir gerne auch verraten. Das will ich aber
nur machen, wenn danach überhaupt deine Frage war.

Grüße,
Bastian

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