Liste aller rationalen Zahlen mit rationaler Antidiagonalen?

26/01/2008 - 15:53 von Albrecht | Report spam
Mein Beitrag zum Jahr der Mathematik:

Die rationale Zahlen lassen sich in Stellenschreibweise mit den
Ziffern 0 und 1 als so genannte Binàrzahlen darstellen. Die Ziffern
nach dem Komma können über den Stellenindex adressiert werden. Die
erste Ziffer nach dem Komma hat den Stellenindex 1. Perioden werden
durch ein p und darauf folgend die Ziffern der Periode bezeichnet.
Es gilt also
1.0 = 1.p0 = 0.p1
oder
0.1 = 0.1p0 = 0.0p1
oder
0.110101010101... = 0.11p01
etc.

Es sei A die Menge der rationalen Zahlen in [0, 1] die in binàrer
Stellenschreibweise an mindestens einer Stellen mit ungeradem
Stellenindex die Ziffer 0 aufweisen, also z.B.
0. 0p1
0.001101p0
0.110p1
0.1111p0
0.001p0
0.1111111111110p1
etc.

Es sei B die Menge der rationalen Zahlen in [0, 1] die in binàrer
Stellenschreibweise an mindestens einer Stellen mit geradem
Stellenindex die Ziffer 1 aufweisen, also z.B.
0.10p1
0.001101p0
0.110p1
0.1111p0
0.1001p0
0.0000000001p0
etc.

Die Vereinigung von A und B ist gleich der Menge aller rationalen
Zahlen Q in [0, 1].

Nun làsst sich eine Liste aller rationalen Zahlen aus [0, 1] bilden
nach folgendem Anweisungsschema:
Die Menge A enthàlt unendlich viele Zahlen die an der ersten Stelle
nach dem Komma eine 0 enthalten. Eine dieser Zahlen wird an die erste
Position der Liste gesetzt.
Die Menge B enthàlt unendlich viele Zahlen die an der zweiten Stelle
nach dem Komma eine 1 enthalten. Eine dieser Zahlen wird an die zweite
Position der Liste gesetzt.
Die Menge A enthàlt unendlich viele Zahlen die an der dritten Stelle
nach dem Komma eine 0 enthalten. Eine dieser Zahlen wird an die dritte
Position der Liste gesetzt.
Die Menge B enthàlt unendlich viele Zahlen die an der vierten Stelle
nach dem Komma eine 1 enthalten. Eine dieser Zahlen wird an die vierte
Position der Liste gesetzt.
Und so weiter.
Nach diesem Verfahren wird die gesamte unendliche Liste belegt.

Eine solche Liste könnte z.B. so aussehen:

0.0p1
0.11p0
0.00011p0
0.000p10
0.0001p0
0.p0011
0.10p01
...

Die unverànderte Diagonalzahl einer solchen Liste wàre nun nach
Vorschrift die periodische Binàrzahl und damit rationale Zahl

0.p01 (oder in üblicher Schreibweise 0.010101010101... )


Die dazugehörige Antidiagonale (an jeder Stelle verànderte Diagonale)
nach Cantor muss dann so aussehen:

0.p10 (oder in üblicher Schreibweise 0.101010101010... )

Die Antidiagonale ist eine periodische Binàrzahl.
Diese periodische Binàrzahl ist somit eine rationale Zahl aus [0, 1].

Nun gelten folgende Aussagen:
0) Die Menge der rationalen Zahlen ist abzàhlbar, damit muss es Listen
aller rationalen Zahlen geben
1) Die gegebene Liste enthàlt jede rationale Zahl aus [0, 1]
mindestens einmal
1a) Die Liste enthàlt alle rationale Zahlen aus [0, 1]
2) Die Antidiagonale ist eine rationale Zahl aus [0, 1]
3) Die Liste kann die Antidiagonale an keiner Position als Zahl
enthalten da sich die Antidiagonale laut Konstruktion von jeder Zahl
der Liste an mindestens einer Stelle unterscheidet, also von jeder
Zahl der Liste verschieden ist
4) Da die Antidiagonale eine rationale Zahl aus [0, 1] ist die nicht
in der Liste enthalten ist und die Liste jede rationale Zahl, also
alle rationale Zahlen aus [0, 1] mindestens einmal enthalten muss,
ergibt sich ein Widerspruch

Folgerungen:
5) Das Diagonalargument nach Cantor führt, auf unendliche Listen
unendlichstelliger Zahlen angewandt, zu einem Widerspruch und ist
somit nicht haltbar
6) Das Diagonalargument nach Cantor beweist nicht, dass die Menge der
reellen Zahlen überabzàhlbar ist

Damit wàre das Diagonalargument nach Cantor ad absurdum geführt.

Siehe auch
http://www.albrecht-storz.homepage.t-online.de/

Beste Grüße
Albrecht
 

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#1 mathemator
26/01/2008 - 16:30 | Warnen spam
Albrecht wrote:

Mein Beitrag zum Jahr der Mathematik:

Die rationale Zahlen lassen sich in Stellenschreibweise mit den
Ziffern 0 und 1 als so genannte Binàrzahlen darstellen. Die Ziffern
nach dem Komma können über den Stellenindex adressiert werden. Die
erste Ziffer nach dem Komma hat den Stellenindex 1. Perioden werden
durch ein p und darauf folgend die Ziffern der Periode bezeichnet.
Es gilt also
1.0 = 1.p0 = 0.p1
oder
0.1 = 0.1p0 = 0.0p1
oder
0.110101010101... = 0.11p01
etc.

Es sei A die Menge der rationalen Zahlen in [0, 1] die in binàrer
Stellenschreibweise an mindestens einer Stellen mit ungeradem
Stellenindex die Ziffer 0 aufweisen, also z.B.
0. 0p1
0.001101p0
0.110p1
0.1111p0
0.001p0
0.1111111111110p1
etc.

Es sei B die Menge der rationalen Zahlen in [0, 1] die in binàrer
Stellenschreibweise an mindestens einer Stellen mit geradem
Stellenindex die Ziffer 1 aufweisen, also z.B.
0.10p1
0.001101p0
0.110p1
0.1111p0
0.1001p0
0.0000000001p0
etc.

Die Vereinigung von A und B ist gleich der Menge aller rationalen
Zahlen Q in [0, 1].

Nun làsst sich eine Liste aller rationalen Zahlen aus [0, 1] bilden
nach folgendem Anweisungsschema:
Die Menge A enthàlt unendlich viele Zahlen die an der ersten Stelle
nach dem Komma eine 0 enthalten. Eine dieser Zahlen wird an die erste
Position der Liste gesetzt.
Die Menge B enthàlt unendlich viele Zahlen die an der zweiten Stelle
nach dem Komma eine 1 enthalten. Eine dieser Zahlen wird an die zweite
Position der Liste gesetzt.
Die Menge A enthàlt unendlich viele Zahlen die an der dritten Stelle
nach dem Komma eine 0 enthalten. Eine dieser Zahlen wird an die dritte
Position der Liste gesetzt.
Die Menge B enthàlt unendlich viele Zahlen die an der vierten Stelle
nach dem Komma eine 1 enthalten. Eine dieser Zahlen wird an die vierte
Position der Liste gesetzt.
Und so weiter.
Nach diesem Verfahren wird die gesamte unendliche Liste belegt.

Eine solche Liste könnte z.B. so aussehen:

0.0p1
0.11p0
0.00011p0
0.000p10
0.0001p0
0.p0011
0.10p01
...

Die unverànderte Diagonalzahl einer solchen Liste wàre nun nach
Vorschrift die periodische Binàrzahl und damit rationale Zahl

0.p01 (oder in üblicher Schreibweise 0.010101010101... )


Die dazugehörige Antidiagonale (an jeder Stelle verànderte Diagonale)
nach Cantor muss dann so aussehen:

0.p10 (oder in üblicher Schreibweise 0.101010101010... )

Die Antidiagonale ist eine periodische Binàrzahl.
Diese periodische Binàrzahl ist somit eine rationale Zahl aus [0, 1].

Nun gelten folgende Aussagen:
0) Die Menge der rationalen Zahlen ist abzàhlbar, damit muss es Listen
aller rationalen Zahlen geben
1) Die gegebene Liste enthàlt jede rationale Zahl aus [0, 1]
mindestens einmal
1a) Die Liste enthàlt alle rationale Zahlen aus [0, 1]
2) Die Antidiagonale ist eine rationale Zahl aus [0, 1]
3) Die Liste kann die Antidiagonale an keiner Position als Zahl
enthalten da sich die Antidiagonale laut Konstruktion von jeder Zahl
der Liste an mindestens einer Stelle unterscheidet, also von jeder
Zahl der Liste verschieden ist
4) Da die Antidiagonale eine rationale Zahl aus [0, 1] ist die nicht
in der Liste enthalten ist und die Liste jede rationale Zahl, also
alle rationale Zahlen aus [0, 1] mindestens einmal enthalten muss,
ergibt sich ein Widerspruch

Folgerungen:
5) Das Diagonalargument nach Cantor führt, auf unendliche Listen
unendlichstelliger Zahlen angewandt, zu einem Widerspruch und ist
somit nicht haltbar
6) Das Diagonalargument nach Cantor beweist nicht, dass die Menge der
reellen Zahlen überabzàhlbar ist

Damit wàre das Diagonalargument nach Cantor ad absurdum geführt.

Siehe auch
http://www.albrecht-storz.homepage.t-online.de/



Hurra! Wir wissen nun, dass abzàhlbare Mengen (hier A und B) echte
Teilmengen haben, die wieder abzàhlbar (und in der Albrechtschen Kiste
aufgeführt) sind . Aber wussten wir das nicht eigentlich schon vorher?

Klaus-R.

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