Loesung von DG mittels Variablensubstitution

14/07/2008 - 17:03 von Gehricht | Report spam
Eigentlich habe ich ein mathematisches Anliegen, aber als Physiker
fuehle ich mich doch in dieser NG wohler ;-).
Gegeben sei die Differentialgleichung

f''(x)-f(x)=0 RB: y(0)=1, y(1)=Exp(1).

Dies fuehrt auf die Loesung f(x)=Exp(x) (Gl 1).

Nun moechte ich diese DG durch Variablensubstitution loesen (warum
auch immer ;-)), und zwar gemaesz der Transformationsvorschrift
x=Exp(u). Unter Anwendung der Kettenregel erhalte ich die DG

f''(u)-Exp(2u)f(u)=0 (Gl. 2) ('' = d^2/d^2 u)

Die Randbedingungunen bestimme ich aus Gl 1 unter Verwendung der
Transformationsvorschrift, d.h.

f(Exp(u))=Exp(Exp(u)) fuer (u=1, u=2).

Wenn ich nun Gl.2 fuer diese RB loese mittels Mathematica loese,
erhalte ich einen laenglichen Ausdruck aus Besselfunktionen, der nicht
viel Aehnlichkeit mit der exakten Loesung aufweist. Insbesondere
scheint er nicht Exp(x)=Exp(Exp(u)) zu entsprechen. Was mache ich
falsch?
Mit groszem Dank fuer eure Bemuehungen
Euer Wolfgang
 

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#1 Ralf Muschall
14/07/2008 - 17:56 | Warnen spam
On 14 Jul., 17:03, ""
wrote:

f''(x)-f(x)=0 RB: y(0)=1, y(1)=Exp(1).

x=Exp(u). Unter Anwendung der Kettenregel erhalte ich die DG

f''(u)-Exp(2u)f(u)=0 (Gl. 2) ('' = d^2/d^2 u)



Ich erhalte

f''(u)-f'(u)-exp(2*u) f(u) = 0

Wenn ich nun Gl.2 fuer diese RB loese mittels Mathematica loese,
erhalte ich einen laenglichen Ausdruck aus Besselfunktionen, der nicht



Vermutlich, weil der Term erster Ordnung fehlt. f(u)=exp(exp(u))
löst meine Gleichung, aber nicht Deine.

Ralf

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