Forums Neueste Beiträge
 

(log p), p prim linear unabhängig in R über Q?

12/01/2008 - 02:49 von Gian Perrone | Report spam
Moin Moin,

nach einiger Zeit des Mitlesens traue ich mich auch mal ans erste Posting.

Auf einem Übungsblatt (es ist von Anfang Dezember, also keine Punkte
mehr wert) stellte unser Prof. (Lineare Algebra I) folgende Aufgabe:

Beweisen sie, dass (log p), p prim ein linear unabhàndiges System im
Vektorraum R über Q ist!

Das Problem: Selbst unser Übungsgruppenleiter hat es nicht geschafft,
einen sauberen Beweis zu formulieren. Sein und mein Ansatz sahen damals
wie folgt aus:

a1 * log(p1) + a2 * log(p2) + ...
= Summe(i=0 bis unendlich) ai * log(pi)
= Summe(i=0 bis unendlich) log(pi^ai)
= log(Produkt(i=0 bis unendlich) pi^ai)

Zu zeigen ist ja, dass dieser Term immer ungleich 0 ist.

Soweit, so gut. Nur weiter ist keiner von uns gekommen. Weder die
Tatsache, dass a rational ist (a=b/c, b aus Z, c aus N), noch, dass p
prim ist, konnten wir so unterbringen, dass daraus ein Beweis für
ungleich 0 wird. Ein Gegenbeispiel für a reell ist trivial, für p nicht
prim tuts 2 log 2 - log 4 = 0.

Vielen Dank für Ansàtze oder mehr,
Gian
 

Lesen sie die antworten

#1 ram
12/01/2008 - 03:19 | Warnen spam
Gian Perrone writes:
Beweisen sie, dass (log p), p prim ein linear unabhàndiges System im
Vektorraum R über Q ist!
a1 * log(p1) + a2 * log(p2) + ...
= Summe(i=0 bis unendlich) ai * log(pi)
= Summe(i=0 bis unendlich) log(pi^ai)
= log(Produkt(i=0 bis unendlich) pi^ai)



Um zu zeigen, daß eine unendliche Menge linear unabhàngig ist,
muß man allerdings nur zeigen, daß jede /endliche/ Teilmenge
linear unabhàngig ist.

Ähnliche fragen