logarithmisch konvex

07/10/2007 - 21:26 von Christian Palmes | Report spam
Hallo,

Es wàre nett, wenn mir jemand von Euch eine URL nennen könnte, wo
folgendes bewiesen wird.

f,g : |R -> |R+ seien zwei logarithmisch konvexe Funktionen. (d.h.
log(f), log(g) sind konvex). Dann ist auch die Fkt. f + g logarithmisch
konvex.

Falls der Beweis einfach ist, wàre auch ein Tipp ganz hilfreich.


Gruß Christian
 

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#1 Ralf Kusmierz
07/10/2007 - 22:47 | Warnen spam
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begin quoting, Christian Palmes schrieb:

Es wàre nett, wenn mir jemand von Euch eine URL nennen könnte, wo
folgendes bewiesen wird.
f,g : |R -> |R+ seien zwei logarithmisch konvexe Funktionen. (d.h.
log(f), log(g) sind konvex).



Heißt das, d^2/dx^2 log(f(x)) > 0?

Dann ist auch die Fkt. f + g logarithmisch konvex.
Falls der Beweis einfach ist, wàre auch ein Tipp ganz hilfreich.



[log(f)]" = [f'/f]' = (ff"-f'^2)/f^2 = f"/f - (f'/f)^2 > 0 (a)
" g"/g - (g'/g)^2 > 0 (b)

[log(f+g)]"
= [(f'+g')/(f+g)]'
= [(f+g)*(f+g)"-(f+g)'^2]/(f+g)^2
= (f+g)"/(f+g) - ((f+g)'/(f+g))^2
= f"/(f+g) + g"/(f+g) - (f'/(f+g) + g'/(f+g))^2
= f"/(f+g) - (f'/(f+g))^2 + g"/(f+g) - (g'/(f+g))^2
- 2*f'g'/(f+g)^2

Hm, hier weiß ich leider nicht weiter ...

Wenn man (a) und (b) addiert, kommt man auf Hauptnenner (fg)[^2]; die
Nenner sind aber gem. Voraussetzung positiv, und f+g natürlich auch,
also sollten sich jeweils konstante Verhàltnisse zwischen fg und f+g
ergeben - vierlleicht geht es so.


Gruß aus Bremen
Ralf
R60: Substantive werden groß geschrieben. Grammatische Schreibweisen:
adressiert Appell asynchron Atmosphàre Autor bißchen Ellipse Emission
gesamt hàltst Immission interessiert korreliert korrigiert Laie
nàmlich offiziell parallel reell Satellit Standard Stegreif voraus

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