Lokal-Global-Prinzip

01/04/2009 - 15:23 von Jan Fricke | Report spam
Hallo,
leider (oder zum Glück?) gilt das Lokal-Global-Prinzip nicht für alle
Gleichungen. Die "Standard-Gegenbeispiele" sind:
(x^2 - 2) * (x^2 - 17) * (x^2 - 34) = 0
und x^4 -17 = 2 * y^2.
Sind noch "einfachere" Beispiele bekannt? Mit "einfach" meine ich
kleinen Grad und wenig Variablen. (Ich meine mich an ein Beispiel eines
Polynoms dritten Grades in einer Variablen zu erinnern.)

Für alle, denen das Lokal-Global-Prinzip nichts sagt: Wenn eine
diophantische Gleichung lösbar ist ("global lösbar"), so ist sie auch
reell und modulo m (für jede positive ganze Zahl m) lösbar ("lokal
lösbar"). Die Umkehrung gilt z.B. für quadratische Polynome (Satz von
Hasse-Minkowski), aber nicht allgemein.


Viele Grüße Jan
 

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#1 franz_lemmermeyer
01/04/2009 - 21:22 | Warnen spam
On 1 Apr., 15:23, Jan Fricke wrote:
Hallo,
leider (oder zum Glück?) gilt das Lokal-Global-Prinzip nicht für alle
Gleichungen. Die "Standard-Gegenbeispiele" sind:
(x^2 - 2) * (x^2 - 17) * (x^2 - 34) = 0
und x^4 -17 = 2 * y^2.
Sind noch "einfachere" Beispiele bekannt? Mit "einfach" meine ich
kleinen Grad und wenig Variablen. (Ich meine mich an ein Beispiel eines
Polynoms dritten Grades in einer Variablen zu erinnern.)



Selmers Beispiel war 3x^3 + 4x^3 + 5z^3 = 0. Es ist aber weniger
einfach als das von Lind-Reichardt, weil der Nachweis der
Nichtlösbarkeit in Q algebraische Zahlentheorie benötigt.

franz

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