Lokalkompakte Gruppe als Vereinigung offener sigma-komp. Untergruppen?

12/08/2009 - 09:13 von Henry | Report spam
Hallo,

Ich würde gerne wissen, ob jemand einen Beweis für folgenden Satz
kennt. Es sollte eigentlich ein klassisches Resultat der Theorie
lokalkompakter Gruppen sein.

Jede lokalkompakte Gruppe ist die gerichtete Vereinigung ihrer offenen
sigma-kompakten Untergruppen.

wobei "gerichtet" hier heißt, dass es für jede zwei offenen sigma-
kompakten Untergruppen H_i und H_j eine weitere offene sigma-kompakte
Untergruppe H_k gibt, so dass
H_i U H_j < H_k ( U... Vereinigung, < ... Teilmenge).

Falls mir jemand hier helfen könnte wàre ich sehr dankbar, ich suche
schon seit làngerer Zeit verzweifelt nach einem Beweis, denn es
offensichtlich gibt, aber all meine Versuche waren vergeblich.

Vielen Dank im Voraus,
Henry
 

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#1 Volker Boie
13/08/2009 - 16:25 | Warnen spam
On 12 Aug., 09:13, Henry wrote:
Hallo,

Ich würde gerne wissen, ob jemand einen Beweis für folgenden Satz
kennt. Es sollte eigentlich ein klassisches Resultat der Theorie
lokalkompakter Gruppen sein.

Jede lokalkompakte Gruppe ist die gerichtete Vereinigung ihrer offenen
sigma-kompakten Untergruppen.

wobei "gerichtet" hier heißt, dass es für jede zwei offenen sigma-
kompakten Untergruppen H_i und H_j eine weitere offene sigma-kompakte
Untergruppe H_k gibt, so dass
H_i U H_j < H_k ( U... Vereinigung, < ... Teilmenge).

Falls mir jemand hier helfen könnte wàre ich sehr dankbar, ich suche
schon seit làngerer Zeit verzweifelt nach einem Beweis, denn es
offensichtlich gibt, aber all meine Versuche waren vergeblich.

Vielen Dank im Voraus,
Henry



Ich kann dir zeigen, dass es ein gerichtetes System offener, sigma-
kompakter Untergruppen gibt. Ob das alle solchen Untergruppen erfasst,
weiß ich nicht.

Sei G die lokalkompakte Gruppe und U eine kompakte Umgebung.
Bezeichne E:={ F Teilmenge von G\U| F endlich}, gerichtet über
Inklusion.
Für e in E bezeiche H_e die von e \/ U erzeugte - offene und sigma-
kompakte - Untergruppe.
Für e,f in E gilt dann: H_e \/ H_f ist Teilmenge von H_e\/f und e\/f
ist ein Element von E.

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