Lösung der Aufgabe mit den 2 Waggons

26/06/2012 - 10:55 von Jürgen R. | Report spam
Nocheinmal die von Ivo Siekmann beschriebene Aufgabe:

Zwei Straßen, die sich nicht schneiden, führen beide von einer Stadt A
in eine andere Stadt B. Zwei Autos, die mit einem Seil einer Lànge
kürzer als 2*L verbunden sind, können gleichzeitig auf verschiedenen
Straßen von A nach B fahren, ohne dass das Seil zerreißt.

Frage: Können 2 kreisförmige LKW, je mit Radius L, deren Mittelpunkte
sich entlang der Straßen in entgegengesetzter Richtung bewegen,
ohne Kollision passieren? A und B soll man sich als Punkte,
die beiden Straßen als Kurven in der Ebene vorstellen.

Die Aufgabe wird in V.I.Arnold's ODE-Buch zur Motivierung
des Phasenraumbegriffes angegeben. Sie wird N.N.
Konstantinov zugeschrieben.

Eine Lösung mit analytischen Mitteln ist
mühsam aber natürlich möglich. Die folgende elegante
Lösung ist offenbar nicht für jeden unmittelbar
einleuchtend.

Sei M = {(x,y): 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1}
das Einheitsquadrat in der Ebene. Jede mögliche Lage der
beiden gleichzeitig fahrenden Fahrzeuge ist durch
einen Punkt(x,y) im Quadrat darstellbar. Dabei
haben die Koordinaten die Bedeutung des zurückgelegten
Bruchteils des Weges.

Insbesondere entsprechen die
Eckpunkte (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) den
folgenden Zustànden: beide in A; einer in A, der
andere in B; einer in B, der andere in A; beide in A.

Nun ist der Weg der beiden verbundenen Autos durch
eine Kurve darstellbar, die (0,0) mit (1,1) verbindet.
Der Weg der beiden LKW entspricht einer Kurve, die (0,1)
mit (1,0) verbindet. Diese beiden Kurven müssen
sich irgendwo schneiden. In der entsprechenden Lage
ist der Abstand der beiden LKW < 2L.

Das bedeutet, ganz egal wie sich die Fahrzeuge genau
vom Start bis ins Ziel bewegen - irgendwann nehmen die
beiden LKW eine Position ein, die auch von den Autos bei
ihrer Reise eingenommen wurde.

Der Zusammenhang mit der àhnlichen Formulierung, wo
die Bergsteiger zur selben Zeit am selben Ort sein
müssen: Man lasse jeweils die Lage des einen der
beiden Fahrzeuge die Rolle der Uhr spielen.
 

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#1 Thomas H.
26/06/2012 - 10:58 | Warnen spam
Jürgen R. schrieb:
Nocheinmal die von Ivo Siekmann beschriebene Aufgabe:

Zwei Straßen, die sich nicht schneiden, führen beide von einer Stadt A
in eine andere Stadt B. Zwei Autos, die mit einem Seil einer Lànge
kürzer als 2*L verbunden sind, können gleichzeitig auf verschiedenen
Straßen von A nach B fahren, ohne dass das Seil zerreißt.

Frage: Können 2 kreisförmige LKW, je mit Radius L, deren Mittelpunkte
sich entlang der Straßen in entgegengesetzter Richtung bewegen,
ohne Kollision passieren? A und B soll man sich als Punkte,
die beiden Straßen als Kurven in der Ebene vorstellen.

Die Aufgabe wird in V.I.Arnold's ODE-Buch zur Motivierung
des Phasenraumbegriffes angegeben. Sie wird N.N.
Konstantinov zugeschrieben.

Eine Lösung mit analytischen Mitteln ist
mühsam aber natürlich möglich. Die folgende elegante
Lösung ist offenbar nicht für jeden unmittelbar
einleuchtend.

Sei M = {(x,y): 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1}
das Einheitsquadrat in der Ebene. Jede mögliche Lage der
beiden gleichzeitig fahrenden Fahrzeuge ist durch
einen Punkt(x,y) im Quadrat darstellbar. Dabei
haben die Koordinaten die Bedeutung des zurückgelegten
Bruchteils des Weges.

Insbesondere entsprechen die
Eckpunkte (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) den
folgenden Zustànden: beide in A; einer in A, der
andere in B; einer in B, der andere in A; beide in A.

Nun ist der Weg der beiden verbundenen Autos durch
eine Kurve darstellbar, die (0,0) mit (1,1) verbindet.
Der Weg der beiden LKW entspricht einer Kurve, die (0,1)
mit (1,0) verbindet. Diese beiden Kurven müssen
sich irgendwo schneiden. In der entsprechenden Lage
ist der Abstand der beiden LKW < 2L.

Das bedeutet, ganz egal wie sich die Fahrzeuge genau
vom Start bis ins Ziel bewegen - irgendwann nehmen die
beiden LKW eine Position ein, die auch von den Autos bei
ihrer Reise eingenommen wurde.

Der Zusammenhang mit der àhnlichen Formulierung, wo
die Bergsteiger zur selben Zeit am selben Ort sein
müssen: Man lasse jeweils die Lage des einen der
beiden Fahrzeuge die Rolle der Uhr spielen.







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