Lösungsmenge gesucht!

21/08/2008 - 20:04 von Siegfried Neubert | Report spam
Moin moin Ihr!

Gegeben sei die Abbildung (das quadr. Polynom)

f:N 3 IN -->IN; t|--> (a*t +b)*t +c
wobei a, b, c, t und n<p, m, p_i e IN*
und die p_i paarweise verschiedene Primzahlen
( "3" für Teilmenge, "e" für Element aus, IN* = IN \ {0} )

Gesucht: IL:= { t e IN : sqrt( f(t) ) e IN }

Ich habe die Fragen,
ob eine Methode für N= [ n, p:= p_1 * p_2 * ... * p_m ],
die ein Sieb mit im Mittel "nur" (p-n)/2^m Quadrat-Kandidaten erzeugt,
welche durch periodische Additionen Modulo p, von im Mittel
(p_1 + p_2 + ... + p_m )/2 i.d.R. verschiedener ganzzahliger Konstanten
in einer Integerarithmetik, auseinander hervor gehen,
neu und von Mathematischem Interesse wàre?

Bitte, das ist eine sehr ernst gemeinte Frage
und ich würde mich über seriöse Antworten freuen.

Gern bin ich auch bereit die Fragestellung
(speziell wegen der Formulierung) weiter zu erlàutern
oder auch spezielle Fragen zur Aufgabenstellung zu beantworten.

Ich möchte nur den Siebmechanismus nicht genauer darstellen
- so er Euch dann nicht ohnehin schon klar/bekannt ist.

Mit freundlichen Grüßen,
tschüß

Siegfried Neubert - Hamburg
 

Lesen sie die antworten

#1 Siegfried Neubert
22/08/2008 - 22:55 | Warnen spam
Moin moin Ihr!

Meine Fàhigkeit den mathematischen Sachverhalt aufzuschreiben, geht mir
etwas schwer von der Hand - Pardon.
Aber diese Fragestellung ist mir sehr wichtig, daher nehme ich gleich
noch ein paar Anregungen von Christian S. auf.
_Bitte_ seht Euch das ganze doch "mit etwas Geduld" an und kommentiert
es - wenn Ihr dann (noch) mögt!

"Siegfried Neubert" schrieb im Newsbeitrag
news:

Gegeben sei die Abbildung (das quadr. Polynom)

f:N 3 IN --> IN; t |--> (a*t +b)*t +c



Aber wie die Teilmenge N nun genau aussehen soll muß man natürlich
nàher spezifizieren
- wàre wohl besser es vorweg zu tun!?

Wobei a, b, c, t e IN*

Da t ja zunàchst mal ein Element von N ist, ist t e IN* dann ein
Widerspruch, wenn doch N eine echte Teilmenge von IN sein soll?
Doch hmm..., betrachtete man irgend ein t e N,
so ist es natürlich auch in IN - oder?

und n<p, m, p_i e IN*



Hier definiere ich ein paar Werte bevor ich sie dann gleich benutze.

Gesucht: IL:= { t e N : sqrt( f(t) ) e IN }



Und erklàre dann auch endlich N

N= [ n, p:= p_1 * p_2 * ... * p_m ]



Aber was genau soll das bedeuten ?


Na ja, N ist die Menge der natürlichen Zahlen von n bis p,
mit n < p und p=... (s.o.), also N= { n, n+1, n+2, ..., p-1, p }.

n ergibt sich dabei im Laufe einer hier nicht dargestellten
Rechnung(*), und die Wahl der p_i ist dabei grundsàtzlich frei,
z.B.: p_1= 3, p_2= 5, ... , p_4= 11 und p= 1155
und damit N= [1, 1155]
Wobei, ich merke schon selbst, [...] ist eine
unglückliche Darstellung,
N= {1,2,3,...,1155} wàre verstàndlicher - Pardon!

Ich habe die Fragen, ob eine Methode für N
die ein Sieb mit im Mittel "nur" (p-n)/2^m Quadrat-Kandidaten
erzeugt,
welche durch periodische Additionen Modulo p, von im Mittel
(p_1 + p_2 + ... + p_m )/2 i.d.R. verschiedener ganzzahliger
Konstanten
in einer Integerarithmetik, auseinander hervor gehen,
neu und von Mathematischem Interesse wàre?



Nun verbirckt sich der Sinn meines tuns aber offenbar zu sehr!

Daher Beispielhaft: Wir hatten
f: {1,2,...,1155} --> IN (surjektiv)
t |--> a*t^2 +b*t c

Die a, b, c ergeben sich aus einem übergeordneten Algorithmus
den ich hier - wie oben bei (*) - nicht offenlegen will.
Das ist aber auch für die Fragestellung nebensàchlich.
Seinen z.B.: a=1, b=2 und c=3, mit diesem Polynom 2. Grades
heißt die zugrundeliegende Fragestellung also:

Für welche t e N
ist f(t):= t^2 +2t +3 das Quadrat einer natürlichen Zahl,
d.h. für welche t gilt: t e IL:= { t e N : sqrt( f(t) ) e IN }

Das kann man ja - weil endlich - einfach ausrechnen,
f(1), f(2), ... f(p55) und jeweils die Wurzelziehen
und sehen, für welches t_k, k e N dann
f(t_k) das Quadrat einer natürlichen Zahl ist!?

Das ist auch noch trivial,
aber wenn die Anzahl der p_i größer wird
- ja sogar sehr viel größer wird -,
dann wir p in etwa exponentiell wachsen
und der Aufwand wird beliebig groß!

Mindestens bis hier dachte ich schon, ließe sich das erlesen, aber ...
Schön wàre, wenn Ihr so freundlich wàret mir weiter zu folgen
und bitte weiter zu kommentieren!


Ein Sieb ist nun Algorithmus der eine Teilmenge S bestimmt,
so, daß gilt IL 3 S 3 N ("3" stand für Teilmenge).
Für ein "gutes Sieb" gilt ord(S) << ord(N)
oder eben ord(S)/ord(N) << 1

Meine Frage làuft dabei darauf hinaus, ob eine(/meine) Methode,
für die - im Mittel - gilt: ord(S)/ord(N)= 2^(-m)
ein "so gutes Sieb" ist, das es
von m a t h e m a t i s c h e m I n t e r e s s e wàre.

Wobei der Aufwand zur Berechnung eines solchen Siebes
mit von entscheidender Bedeutung für die Qualitàt der Methode ist.
Hier findet man die Elemente der Menge S,
indem man von einem Startwert aus (periodisch)
(p_1 + p_2 + ... + p_m )/2 natürliche Zahlen
- Konstanten - (Modulo p) addiert.
Das ist ein vergleichsweise sehr geringer Aufwand!

Zu einer Vorgànger-Überlegung haben mir
Studenten einer Fachhochschule schon
eine "funktionierende!" Prototyp-Hardware gebaut
- also keine Frage, es funktioniert!

Nur, ist es neu _und_ ist es mathematisch interessant?!
(Zum "neu" habe ich schon etwas recherchiert
und nichts wirklich vergleichbares gefunden - aber was sagt das?)

Mochte noch jemand "mitlesen",
ich bitte um Kommentare!

Viele Grüße

Siggi N. - Hamburg

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