Lösungsmethode für algebraische Gleichungen

12/07/2016 - 18:15 von Stephan Gerlach | Report spam
Es geht um algebraische Gleichungen über R, also Gleichungen der Form

P(x) = 0,

wobei P(x) = x^n + a_n*x^{n-1} + ... + a_1*x + a_0
ein Polynom ist und das (reelle) x gesucht ist. Die Koeffizienten des
Polynoms seien ebenfalls reell.

Nun ist bekannt: Für bestimmte Grade des Polynoms gibt es
Lösungsformeln, mit denen man die Lösungen x direkt ausrechnen kann.

Weiterhin gilt der Satz 1:
Sind die Koeffizienten des Polynoms
ganzzahlig und ist x eine ganzzahlige(!) Lösung, so ist x ein Teiler von
a_0. D.h. man kann durch systematisches Probieren evtl. Lösungen finden.
Vermutlich làßt sich Satz 1 auch für nicht ganzzahlige, aber rationale
Koeffizienten modifizieren.


Nun ist mir neulich für bestimmte Beispiele ein Lösungsweg für derartige
Gleichngen untergekommen, der die richtige Lösung liefert, aber der
zunàchst etwas "mystisch" wirkt. Die Polynome werden "irgendwie"
faktorisiert, bis dann die Lösung offensichtlich wird.
Ich werde den vorgeschlagenen Lösungsweg mal an 2 Beispielen vorführen:

Beispiel 1:
x^2 + 7/2*x -2 = 0 (I)
x^2 + 4x - 1/2*x - 2 = 0 (II)
x*(x + 4) - 1/2*(x + 4) = 0 (III)
(x - 1/2)*(x + 4) = 0 (IV)

Jetzt kann man die Lösungen 1/2 und -4 ablesen.
Der Schritt von (I) nach (II) ist mir nicht klar; bzw. genauer, welches
allgemeine Prinzip dahintersteckt. Wie kommt man (allgemein) von (II)
auf (III). Natürlich könnte sowas wie "Raten einer der beiden Lösungen"
nach Satz 1 dahinterstecken; aber dann könnte man IMHO auch gleich zu
Schritt 3 übergehen bzw. die Lösung sofort hinschreiben.


Beispiel 2:
Jetzt kommt eine Gleichung 4. Grades.
Hier werde ich nur die (quasi) Bestimmung *einer* Lösung durch diese
Faktorisierungs-Methode(?) vorführen. Ähnlichkeiten zur 1. Aufgabe sind
nicht rein zufàllig, aber das soll hier nichts zur Sache tun.

x^4 + 7/2*x^3 - 10*x^2 - 28*x + 16 = 0 (I)
x^4 - 1/2*x^3 + 4*x^3 - 2*x^2 - 8*x^2 + 4*x - 32*x + 16 = 0 (II)
x^3*(x-1/2) + 4*x^2*(x-1/2) - 8*x*(x-1/2) - 32*(x-1/2) = 0 (III)
(x^3 + 4*x^2 - 8*X - 32)*(x - 1/2) = 0 (IV)

Jetzt kann man die Lösung 1/2 ablesen. Das allgemeine Prinzip, was
anscheinend angewendet wird, um von (I) nach (II) zu kommen, ist mir
wieder nicht klar. Wie kommt man auf (II), ohne die Lösung x=1/2 in
irgendeiner Form vorwegzunehmen?
Für mich sieht der Schritt von (I) zu (II) so aus, als hàtte man bereits
unter Kenntnis(!) dieser Zahl 1/2 das Polynom modifiziert. Das wàre dann
sowas wie eine Polynomdivision in etwas ungewohnter Schreibweise.
Allerdings will man ja die Lösungen der Gleichung - und damit auch 1/2 -
erst herausfinden?!

Hat jemand diesen Lösungsweg schonmal gesehen und kann Nàheres dazu sagen.


Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
 

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#1 Jens Kallup
12/07/2016 - 19:49 | Warnen spam
Hallo

ist das eine Hausaufgabe?
irgendwie salat :-)

Am 12.07.2016 um 18:15 schrieb Stephan Gerlach:
Es geht um algebraische Gleichungen über R, also Gleichungen der Form

Beispiel 1:
x^2 + 7/2*x -2 = 0 (I)



x^2 ist das gleiche wie 1^2, was 1 ergibt,
also 1*x x.
dieses x wird um 1x abgezogen
da x alein dasteht, ist x = 1 also 2,5x ...
die Aufgabe lautet dann also:

1x + 3,5x -2 = 0 | -1x
2,5x -2 = 0 | -2x
0,5x -4 = 0 | -4

x1 = -4,0
x2 = 0,5
==
x^2 + 4x - 1/2*x - 2 = 0 (II)



was dann das gleiche ist wie siehe oben:

1x + 4x - 0,5x -2 = 0 | -1x
- 3,5x -2 = 0 | -2
3,5x -4 = 0 | -3,0x
x1 = -4
x2 = 0,5
==
x*(x + 4) - 1/2*(x + 4) = 0 (III)



x*(x + 4) = 2x + 4

x + 4 1
1/2*(x + 4) = -- = = 0,5
2 2

2x + 4 - 0,5 x*x + 4 - 0,5 x^2 + 4 - 0,5 1 + 4 - 0,5 5 - 0,5 = 4,5 | -4 = x1 = -4 , x2 = 0,5

(x - 1/2)*(x + 4) = 0 (IV)



7
2x + = x^2 + 3,5 = 1 + 3,5 = 4,5 | -4 --> x1 = -4, x2 = 0,5
2

Gruß
Jens

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