lp von erster Kategorie in lq

28/02/2009 - 10:38 von phil.wnrt | Report spam
Hallo,

im Werner, Funktionalanalysis findet sich folgende Aufgabe: Zeige,
dass l^p in l^q von erster Kategorie ist, sobald p<q.
Leider gelingt es mir nicht, diese Aussage zu zeigen. Ich weiß, dass
man eine Folge (A_n) nirgends dichter Mengen finden muss, die in der
Vereinigung ganz l^p ergeben. Mögliche Kandidaten sind doch zum
Beispiel die offenen ||.||_p-Kugeln mit Radius n oder die l^q-Folgen,
die ab dem n-ten Index p-summiert kleiner 1 sind. Andere Möglichkeiten
sind mir nicht sofort ins Auge gesprungen. Leider gelingt es mir nicht
zu zeigen, dass die betreffenden Mengen nirgends dicht in l^q sind.
Gibt es da einen einfachen Kniff? Oder sind es gar die falschen
Mengen, die ich hier betrachte? Welche Folge (A_n) nirgends dichter
Mengen eignet sich besser?

Eine kurze und noch etwas kryptische Antwort wàre mir recht, so hàtte
ich nicht ganz das Gefühl, bei der Aufgabe komplett versagt zu haben.
Vielen Dank.
Grüße,
Philipp.
 

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#1 Ulrich Lange
28/02/2009 - 13:03 | Warnen spam
schrieb:

im Werner, Funktionalanalysis findet sich folgende Aufgabe: Zeige,
dass l^p in l^q von erster Kategorie ist, sobald p<q.
Leider gelingt es mir nicht, diese Aussage zu zeigen. Ich weiß, dass
man eine Folge (A_n) nirgends dichter Mengen finden muss, die in der
Vereinigung ganz l^p ergeben. Mögliche Kandidaten sind doch zum
Beispiel die offenen ||.||_p-Kugeln mit Radius n oder die l^q-Folgen,
die ab dem n-ten Index p-summiert kleiner 1 sind. Andere Möglichkeiten
sind mir nicht sofort ins Auge gesprungen. Leider gelingt es mir nicht
zu zeigen, dass die betreffenden Mengen nirgends dicht in l^q sind.
Gibt es da einen einfachen Kniff? Oder sind es gar die falschen
Mengen, die ich hier betrachte? Welche Folge (A_n) nirgends dichter
Mengen eignet sich besser?

Eine kurze und noch etwas kryptische Antwort wàre mir recht, so hàtte
ich nicht ganz das Gefühl, bei der Aufgabe komplett versagt zu haben.
Vielen Dank.



Hallo Philipp,

ich betrachte mal den Spezialfall p=1 und q=2 und behaupte:

Für jedes x e l^1 gibt es eine Folge y_n in l^2\l^1, die in l^2 gegen
x konvergiert, nàmlich z.B. die folgendermaßen definierte

y_{n,k} := x_k für k < n und y_{n,k} := 1/k für k >= n

Diese Reihe (bzw. eine àhnlich definierte Reihe für beliebige p<q)
könnte hier nützlich sein. ;-)


Gruß, Ulrich Lange

(ulrich punkt lange bindestrich mainz at t-online punkt de)

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