LS-Kopplung: Störungstheorie

16/10/2007 - 15:25 von Michael Noetgen | Report spam
Hallo zusammen!

Wie berechnet man per zeitunabhàngiger Störungstheorie den Beitrag
der LS-Kopplung zur "relativistischen" Formel der Wasserstoff-Ener-
gie?

Ich habe den "Fahrplan" bisher so begriffen:

Man ermittelt zunàchst einmal den Störoperator, der dann von der Form

H' = C * 1/r³ * LS

ist, wobei L und S den Drehimpuls- bzw. Spinoperator darstellen. Die
explizite Gestalt kann man zum Beispiel heuristisch über Biot-Savart
im Ruhesystem des Elektrons plus Berücksichtigung des Thomas-Faktors
herleiten; alternativ (und wahrscheinlich richtiger :-)) aus der Di-
rac-Gleichung.

Die ungestörten Energien E_n sind 2(2l + 1)-fach entartet, weswegen
man entartete Störungstheorie machen muß. Das bedeutet, daß H' in den
zu den ungestörten Energien gehörigen Unterràumen diagonalisiert wer-
den muß. (Stimmt das so? Wenn ja, warum ist das so?)

Darum ist es klug, LS als

LS = 1/2 (J² - L² - S²)

zu schreiben, weil man dann die Basis |l, 1/2, l +- 1/2, M> verwenden
kann, in der H' automatisch diagonal ist. (Wieso gilt das eigentlich
trotz des 1/r³-Terms? Weil der nicht auf die Drehimpulsquantenzahlen
wirkt sondern nur auf den Radialteil?)

Jetzt kann man die gestörte Energie E' nach Störungstheorie in erster
Ordnung berechnen:

E' = <n, l, 1/2, l +- 1/2, M| H' |n, l, 1/2, l +- 1/2, M>

Aber wie macht man das? Ab hier kann ich die Rechnung nicht mehr rich-
tig nachvollziehen. :-(

Wie es aussieht, splittet man H' in zwei Anteile 1/r² und LS = 1/2 (J²
- L² - S²) auf und làßt sie separat auf die Zustànde wirken (die Er-
gebnisse dann als Produkt geschrieben). Wie das genau funktioniert,
raffe ich aber nicht. :-(

Herzlichen Dank noch einmal im voraus für jede Erklàrung!!!

Viele Grüße
Michael
 

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#1 Hendrik van Hees
17/10/2007 - 04:14 | Warnen spam
Michael Noetgen wrote:

Hallo zusammen!

Wie berechnet man per zeitunabhàngiger Störungstheorie den Beitrag
der LS-Kopplung zur "relativistischen" Formel der Wasserstoff-Ener-
gie?

Ich habe den "Fahrplan" bisher so begriffen:

Man ermittelt zunàchst einmal den Störoperator, der dann von der Form

H' = C * 1/r³ * LS

ist, wobei L und S den Drehimpuls- bzw. Spinoperator darstellen. Die
explizite Gestalt kann man zum Beispiel heuristisch über Biot-Savart
im Ruhesystem des Elektrons plus Berücksichtigung des Thomas-Faktors
herleiten; alternativ (und wahrscheinlich richtiger :-)) aus der Di-
rac-Gleichung.



Es lohnt sich aber trotzdem, die Thomassche Herleitung nachzulesen (vgl.
z.B. Itzykson-Zuber Quantum Field Theory), weil es ein schönes Beispiel
für eine hübsche gruppentheoretische Argumentation ist.

Die ungestörten Energien E_n sind 2(2l + 1)-fach entartet, weswegen
man entartete Störungstheorie machen muß. Das bedeutet, daß H' in den
zu den ungestörten Energien gehörigen Unterràumen diagonalisiert wer-
den muß. (Stimmt das so? Wenn ja, warum ist das so?)



Es stimmt, und das ist so, weil das nichtrelativistische Wasserstoffatom
eine dynamische Symmetrie besitzt. Neben aus den Raumzeitsymmetrien
(Galileigruppe) folgenden Erhaltungsgrößen gibt es nàmlich noch einen
erhaltenen Vektor, den sog. Runge-Lenz-Vektor, vgl. für die klassische
Mechanik

http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/mech/node37.html

Auf die Art hat Pauli (noch vor Schrödinger!) das Wasserstoffproblem im
Rahmen der noch heute gültigen "neuen Quantentheorie" ausgerechnet, und
zwar rein algebraisch.

Darum ist es klug, LS als

LS = 1/2 (J² - L² - S²)

zu schreiben, weil man dann die Basis |l, 1/2, l +- 1/2, M> verwenden
kann, in der H' automatisch diagonal ist. (Wieso gilt das eigentlich
trotz des 1/r³-Terms? Weil der nicht auf die Drehimpulsquantenzahlen
wirkt sondern nur auf den Radialteil?)



Der Bösewicht ist genau dein Spin-Bahnterm, denn \vec{L} \vec{S}
vertauscht nicht mit L und S, sondern bloß mit J=L+S (letzteres muß
freilich gelten, da der Gesamt-Hamiltonian ja immer noch ein Skalar
unter Rotationen ist!).

Jetzt kann man die gestörte Energie E' nach Störungstheorie in erster
Ordnung berechnen:

E' = <n, l, 1/2, l +- 1/2, M| H' |n, l, 1/2, l +- 1/2, M>

Aber wie macht man das? Ab hier kann ich die Rechnung nicht mehr rich-
tig nachvollziehen. :-(

Wie es aussieht, splittet man H' in zwei Anteile 1/r² und LS = 1/2 (J²
- L² - S²) auf und làßt sie separat auf die Zustànde wirken (die Er-
gebnisse dann als Produkt geschrieben). Wie das genau funktioniert,
raffe ich aber nicht. :-(




Schau mal unter Wigner-Eckart (sp) Theorem nach. Das müßte es eigentlich
erklàren.


Hendrik van Hees Texas A&M University
Phone: +1 979/845-1411 Cyclotron Institute, MS-3366
Fax: +1 979/845-1899 College Station, TX 77843-3366
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq mailto:

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