Mannigfaltigkeiten ...

11/04/2008 - 10:47 von Thomas Richter | Report spam
"Dennoch kann man die ganze 2-Sphàre nicht auf einmal in einer
zweidimensionalen euklidischen Ebene darstellen."

Was stellen dann üblicherweise erhàltliche Landkarten mit
dem gesamten Bild der Erdoberflàche dar?

th


http://de.wikipedia.org/wiki/Geomet...ltigkeiten
"Eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit (oder kurz 3-Mannigfaltigkeit)
ist ein topologischer Raum, der sich lokal durch 3-dimensionale
"Karten" beschreiben làsst, also auf kleinen Bereichen so aussieht wie
der gewöhnliche dreidimensionale euklidische Raum. Eine ganze
3-Mannigfaltigkeit làsst sich dagegen im allgemeinen nicht als
Teilmenge des dreidimensionalen Raumes vorstellen. Dies wird durch
Betrachtung von 2-dimensionalen Mannigfaltigkeiten anschaulich: Eine
zweidimensionale Sphàre (also z.B. die Erdoberflàche) làsst sich lokal
durch zweidimensionale Karten beschreiben (jeder gewöhnliche Atlas ist
eine solche Ansammlung von Karten). Dennoch kann man die ganze
2-Sphàre nicht auf einmal in einer zweidimensionalen euklidischen
Ebene darstellen. Analog zum zweidimensionalen Beispiel legen die
Kartenwechsel (jetzt zwischen den 3-dimensionalen Karten) die Struktur
der 3-Mannigfaltigkeit fest."
 

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#1 Thomas Nordhaus
11/04/2008 - 11:19 | Warnen spam
Thomas Richter schrieb:
"Dennoch kann man die ganze 2-Sphàre nicht auf einmal in einer
zweidimensionalen euklidischen Ebene darstellen."

Was stellen dann üblicherweise erhàltliche Landkarten mit
dem gesamten Bild der Erdoberflàche dar?



"kann man nicht darstellen" muss man natürlich noch pràzisieren. Was
gemeint ist: Man kann die 2-Sphàre nicht *umkehrbar stetig* (Betonung
auf beide Begriffe) auf eine Teilmenge der 2-dimensionalen euklidischen
Ebene abbilden. Wenn man das versucht, dann erleidet man an einigen
Stellen ziemlichen Schiffbruch: Die Pole werden dann z.B. nicht mehr auf
Punkte sondern auf Geradenstücke abgebildet, Punkte auf bestimmten
Meridianen werden doppelt abgebildet usw.

Man kann sich formal damit behelfen, dass man z.B. einen gesamten
Meridian (halben Großkreis, der die Pole miteinander verbindet) nicht
abbildet. Man hàtte dann eine Karte ohne Rand, aber nicht die *ganze*
Sphàre abgebildet.


th


http://de.wikipedia.org/wiki/Geomet...ltigkeiten
"Eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit (oder kurz 3-Mannigfaltigkeit)
ist ein topologischer Raum, der sich lokal durch 3-dimensionale
"Karten" beschreiben làsst, also auf kleinen Bereichen so aussieht wie
der gewöhnliche dreidimensionale euklidische Raum. Eine ganze
3-Mannigfaltigkeit làsst sich dagegen im allgemeinen nicht als
Teilmenge des dreidimensionalen Raumes vorstellen. Dies wird durch
Betrachtung von 2-dimensionalen Mannigfaltigkeiten anschaulich: Eine
zweidimensionale Sphàre (also z.B. die Erdoberflàche) làsst sich lokal
durch zweidimensionale Karten beschreiben (jeder gewöhnliche Atlas ist
eine solche Ansammlung von Karten). Dennoch kann man die ganze
2-Sphàre nicht auf einmal in einer zweidimensionalen euklidischen
Ebene darstellen. Analog zum zweidimensionalen Beispiel legen die
Kartenwechsel (jetzt zwischen den 3-dimensionalen Karten) die Struktur
der 3-Mannigfaltigkeit fest."




Hier fehlt die Definition (bzw. es wird nur darauf verwieden) was eine
Karte ist. Da muss dann so etwas wie umkehrbar stetig erwàhnt werden.


Thomas Nordhaus

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