Märchen aus Mückenhausen

27/08/2010 - 13:16 von Jürgen R. | Report spam
Mückenheim zitiert Bertrand Russell:

'Fortunately Cantor did not meet Russell. Cantor would have been very
disappointed: "The objections to the theory are [...] that a great
part of Cantor's theory of the transfinite, including much that it is
hard to doubt, is, so far as can be seen, invalid if there are no
classes or relations." [Bertrand Russell: "On some difficulties in the
theory of transfinite numbers and order types", Proc. London Math.
Soc. (2) 4 (1906) 29-53, Received November 24th, 1905. - Read December
14, 1905.]'

Unvorsichtigerweise gibt Mückenheim die genaue Quelle an,
so dass jeder feststellen kann, dass Russell hier das gerade
Gegenteil dessen meint, was WM unterstellt.

Russell hat sich jahrelang mit dem Thema befasst und seine Beitràge sind
auch heute noch lesenswert, weil er so wunderbar klar denkt und einen
selten schönen Schreibstil pflegt.

Der zitierte Artikel enthàlt Überlegungen zu genau den Themen, die
Herrn Mückenheim zum Wahnsinn getrieben haben:
<quote>
1. The difficulty as to consistent aggregates
2. The difficulty as to what we may call Zermelo's axiom
</quote>
Also: Wie kann man den Mengenbegriff so fassen, dass die
Antinomien vermieden werden.
Und: Wie sind die mit dem Wohlordnungssatz verbundenen
Schwierigkeiten aufzulösen.

Russell diskutiert dann drei mögliche Ansàtze und deren
Konsequenzen. Den dritten nennt er "The no Classes Theory".
In dieser Radikallösung gibt es überhaupt keine Mengen (damals
'class' genannt nicht 'set'). Und über diese Theorie sagt
er:

"The objections to the theory are (1) that it seems obvious
to common sense that there are classes; (2) that a great
part of Cantor's theory of the transfinite, including much that it is
hard to doubt, is, so far as can be seen, invalid if there are no
classes or relations; (3) that the working out of the theory is
very complicated, and is on this account likely to contain errors,
the removal of which would, for aught we know, render the theory
inadequate to yield the results even of elementary arithmetic."

Also: Als Einwand gegen diese mögliche Theorie wird aufgeführt, dass
Cantors Theorie eventuell hinfàllig würde.
 

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#1 WM
27/08/2010 - 18:47 | Warnen spam
On 27 Aug., 13:16, Jürgen R. wrote:
Mückenheim zitiert Bertrand Russell:

'Fortunately Cantor did not meet Russell. Cantor would have been very
disappointed: "The objections to the theory are [...] that a great
part of Cantor's theory of the transfinite, including much that it is
hard to doubt, is, so far as can be seen, invalid if there are no
classes or relations." [Bertrand Russell: "On some difficulties in the
theory of transfinite numbers and order types", Proc. London Math.
Soc. (2) 4 (1906) 29-53, Received November 24th, 1905. - Read December
14, 1905.]'

Unvorsichtigerweise gibt Mückenheim die genaue Quelle an,
so dass jeder feststellen kann, dass Russell hier das gerade
Gegenteil dessen meint, was WM unterstellt.

Russell hat sich jahrelang mit dem Thema befasst



Tatsàchlich? Jahren?

und seine Beitràge sind
auch heute noch lesenswert, weil er so wunderbar klar denkt und einen
selten schönen Schreibstil pflegt.



Das sagt ein Kenner? Oder sagt es nur ein Unkenner, der mitbekommen
hat, dass Russell den Nobelpreis für Literatur erhalten hat? Welchen
meiner von Dir getadelten Aussàtze hat denn ein àhnlich guter Anglist
bearbeitet?

Der zitierte Artikel enthàlt Überlegungen zu genau den Themen, die
Herrn Mückenheim zum Wahnsinn getrieben haben:
<quote>
1. The difficulty as to consistent aggregates
2. The difficulty as to what we may call Zermelo's axiom
</quote>
Also: Wie kann man den Mengenbegriff so fassen, dass die
Antinomien vermieden werden.
Und: Wie sind die mit dem Wohlordnungssatz verbundenen
Schwierigkeiten aufzulösen.



Whether it is possible to rescue more of Cantor's work must probably
remain doubtful until the fundamental logical notions employed are
more thoroughly understood. And whether, in particular, Zermelo's
{{Auswahl-}} axiom is true or false {{ja, konnte ein Axiom für sich
genommen denn zu Ihrer Zeit noch wahr oder falsch sein, Herr Russell?
Suchte und vermutete man in der Mathematik damals etwa noch Wahrheit
und Sinn?}} is a question which, while more fundamental matters are
in
doubt, is very likely to remain unanswered. The complete solution of
our difficulties, we may surmise, is more likely to come from clearer
notions in logic than from the technical advance of mathematics; but
until the solution is found we cannot be sure how much of mathematics
it will leave intact. [1, p 53] {{Ach, hàtte doch Herr Cantor niemals
beschlossen, Mathematiker zu werden!}}


Russell diskutiert dann drei mögliche Ansàtze und deren
Konsequenzen. Den dritten nennt er "The no Classes Theory".
In dieser Radikallösung gibt es überhaupt keine Mengen (damals
'class' genannt nicht 'set').



Ach, Du bist nicht nur ein Kenner guten englischen Stils, sondern auch
ein ausgewiesener Historiker. Russell verband mit dem Ausdruck classes
etwas anderes als Cantor mit Menge. Den Ausdruck set und aggregate
verwenden Russell und andere schon damals:

Bertrand Russell
On some difficulties in the theory of transfinite numbers and order
types
Proc. London Math. Soc. (2) 4 (1906) 29-53.


p.29 There are tow wholly distinct difficulties to be considered in
the theory of transfinite cardinal numbers, namely :
(1) The difficulty as to inconsistent aggregates (as they are called
by Jourdain);
(2) The difficulty as to what we may call Zermelo's axiom.

The first leads to definite contradictions, and renders all reasoning
about classes and relations, prima facie, suspect; while the second
merely raises a doubt as to whether a certain much used axiom is true,
without showing that any fundamental difficulties arise from supposing
it true or from supposing it false.

p. 30 The doubt as to the truth of Zermelo's axiom arises from the
impossibility of discovering a norm by which to select one term out of
each of a set of classes, while the difficulty of inconsistent
aggregates arises from the presence of a perfectly definite norm
combined with the demonstrable absence of a corresponding aggregate.
This suggests hat norm is a necessary but not a sufficient condition
for the existence of an aggregate; [...] Logical determinateness, it
seems, is not sufficient.


Und über diese Theorie sagt
er:

"The objections to the theory are (1) that it seems obvious
to common sense that there are classes; (2) that a great
part of Cantor's theory of the transfinite, including much that it is
hard to doubt, is, so far as can be seen, invalid if there are no
classes or relations; (3) that the working out of the theory is
very complicated, and is on this account likely to contain errors,
the removal of which would, for aught we know, render the theory
inadequate to yield the results even of elementary arithmetic."

Also: Als Einwand gegen diese mögliche Theorie wird aufgeführt, dass
Cantors Theorie eventuell hinfàllig würde.



Note added February 5th, 1906. - From further investigation I now
feel
hardly any doubt that the no-classes theory affords the complete
solution of all the difficulties stated in the first section of this
paper.

Literaturangaben in KB090815

Und hier noch zwei neutralle Russell-Interpreten:

Andere Mathematiker gingen so weit in skeptischer Richtung, daß sie
die Mengenlehre ganz verwarfen, so z. B. Poincaré. Er soll in einem
Vortrage auf dem internationalen Mathematikerkongreß in Rom 1908
gesagt haben, daß man einmal in der Zukunft dazu kommen würde, die
Mengenlehre als eine überwundene Krankheit anzusehen. Er meinte den
Grund der Antinomien in den sogenannten nichtpràdikativen
Definitionen
gefunden zu haben. Diese Ansicht teilt auch B. Russell, und H. Weyl
spricht in seinem Werke „Das Kontinuum" denselben Gedanken aus. Eine
nicht-pràdikative Definition ist eine, welche gewisse Dinge so
zusammenfaßt, daß darunter auch Dinge mitgerechnet werden, deren
Definition wieder das Ergebnis der Zusammenfassung voraussetzt.
[T. A. Skolem: Über die Grundlagendiskussionen in der Mathematik
(1929)]
[T. A. Skolem . Selected works in logic, J. E. Fenstad, ed. Oslo:
Scandinavian University Books (1970) p. 214].


The philosophical stance which admits the natural numbers but not its
power set is called
predicativism; it was originally put forward by Bertrand Russell and
Henri Poincaré, and there is a long line of research stretching back
to Hermann Weyl which establishes in detail its ability to encompass
ordinary mathematics. [...] The basic idea is that we accept the
natural numbers and individual real numbers (or equivalently,
individual sets of natural numbers, which can still be pictured in
terms of physical instantiation) but do not assume the existence of a
well-defined set of all real numbers (which cannot be meaningfully
understood in terms of physical instantiation).
[NIK WEAVER: "IS SET THEORY INDISPENSABLE?"]
http://www.math.wustl.edu/~nweaver/indisp.pdf

Gruß, WM

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