Mathematiklehrbuecher ohne aktualunendliche Voraussetzungen - 2 Fragen

04/09/2015 - 11:28 von Rudolf Sponsel | Report spam
Hallo WM und Interessierte,

1) kannst Du Mathematiklehrbücher nennen oder gar empfehlen, die vom
aktual Unendlichen keinen Gebrauch machen?

2) Anschlussfrage: Wie ist die Aussage Cantors zur Unmöglichkeit von
unendlich Kleinsten Zahlgrößen angesichts der Entdeckung der
Nonstandardzahlen zu beurteilen?

Anlass: Petrov (russ. 1967, dt. 1971) habe ich S. 89f entnommen. Ich
bringe mal das ganze Zitat, da beide Fragen in ihm motiviert sind?

Petrov nach (dt. 1971), S. 89f: "Die Wissenschaft verwarf den Begriff
des Aktual-Unendlich-Kleinen generell, da er in sich widersprüchlich
war. Cantor bewies, daß dieser Begriff mit dem Begriff der linearen
Zahlengröße nicht vertràglich ist (in [46] ist der Beweisgang kurz
dargelegt). Der Begriff des Aktual-Unendlich-Großen, d. h. der Begriff
der aktual unendlichen Menge, auf dessen Grundlage die transfiniten
Zahlen aufgebaut werden, bietet also nicht [>90] nur keine Grundlage für
die Zulàssigkeit des Begriffes des Aktual-Unendlich-Kleinen, sondern
ermöglicht sogar den Beweis, daß dieses unmöglich ist. Auf Grundlage
seines Beweises trifft Cantor folgende Schlußfolgerung: ,,Von Null
verschieden lineare Zahlgrößen (d. h. kurz gesagt, solche Zahlgrößen,
welche sich unter dem Bilde begrenzter geradliniger stetiger Strecken
vorstellen lassen), welche kleiner wàren, als jede noch so kleine
endliche Zahlgröße, gibt es nicht, d. h. sie widersprechen dem Begriff
der linearen Zahlgröße" ([46]).
Der Begriff einer aktual unendlichen Menge hingegen gewann in der
zweiten Hàlfte des 19. Jahrhunderts sowohl für die Mathematik als auch
für die Wissenschaft überhaupt eine gewaltige Bedeutung.
Bei der logischen Begründung der mathematischen Analysis wurde er von
Weierstraß, Dedekind und Cantor für den Aufbau der allgemeinen Theorie
der reellen Zahlen benutzt. Die aktuale Unendlichkeit, die seither immer
im Sinne des modernen Begriffes einer aktual unendlichen Menge
verstanden wird, ist ein fundamentaler Begriff der inhaltlichen
Mengenlehre, mit deren Hilfe man versuchte, eine logische Begründung der
gesamten Mathematik zu geben. In der modernen klassischen mathematischen
Analysis wie auch in anderen Bereichen der Mathematik setzen viele
Definitionen und Beweise die Annahme der Abstraktion der aktualen
Unendlichkeit voraus.
Deshalb ist das Unendlichkeitsproblem eines der wesentlichsten
Grundlagenprobleme der Mathematik, mit dem bedeutende logische und
erkenntnistheoretische Schwierigkeiten verbunden sind."

Quelle u. bibliographische Angaben:
http://www.sgipt.org/wisms/geswis/m...m.htm#1967
 

Lesen sie die antworten

#1 WM
04/09/2015 - 12:14 | Warnen spam
Am Freitag, 4. September 2015 11:39:34 UTC+2 schrieb Rudolf Sponsel:
Hallo WM und Interessierte,

1) kannst Du Mathematiklehrbücher nennen oder gar empfehlen, die vom
aktual Unendlichen keinen Gebrauch machen?



1) Ja, meines.
W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", A4, De Gruyter, Berlin 2015. ISBN 978-3-11-037733-0.
http://www.degruyter.com/view/produ...p;result=1

2) Alle anderen (zur Analysis und Algebra) auch, denn vom aktual Unendlichen kann kein Autor wirklich Gebrauch machen, weil es nicht existiert.

Man muss dazu einen Widerspruch akzeptieren, nàmlich diesen: Gegeben sei die Folge aller natürlichen Zahlen in Unàrdarstellung
1
11
111
...

Keine Zeile überdeckt aktual unendlich viele (aleph_0) Spalten.
Betrachten wir aber alle Zeilen Zeilen zusammen, so überdecken sie aleph_0 Spalten.
Dies ist ein Widerspruch, da die Eigenschaft "Zeile überdeckt alpeh_0 Spalten oder überdeckt nicht aleph_0 Spalten" von der Existenz weiterer Zeilen völlig unabhàngig ist.

2) Anschlussfrage: Wie ist die Aussage Cantors zur Unmöglichkeit von
unendlich Kleinsten Zahlgrößen angesichts der Entdeckung der
Nonstandardzahlen zu beurteilen?



Aktual unendlich ist Unsinn, gang egal in welchem Zusammenhang. Aber wie die Reaktionen auf mein o.g. Argument zeigen, ist es geeignet, das Denkvermögen entscheidend zu beschàdigen.

Gruß, WM

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