Mathematisches Problem (Analysis)

27/09/2011 - 21:38 von Franz Fritsche | Report spam
Hallo!

Hier ein Textauszug aus einem schon etwas àlteren Büchlein:

"Eine Standardaufgabe in der Differentialrechnung für die Berechnung der
Maxima und Minima stellt das Problem dar, bei Vernachlàssigung der Dicke
einen Baumstamm in waagerechter Lage aus einer Straße mit der Breite a in
eine andere Straße mit Breite b zu bringen, die in die erste Straße
rechtwinklig einmündet. Wie lang darf der Baumstamm höchstens sein, damit
er um die Ecke geht? Es bedarf einiger Rechnerei, um als größtmögliche
Lànge des Stammes

SQRT{[3-rd-SQRT(a^2) + 3-rd-SQRT(b^2)]^3}

zu ermitteln."

Kann das jemand hier freundlicherweise mal "vorrechnen"? (Wobei ich nur
hoffe, dass die Formel stimmt, und nicht dem Druckfehlerteufel zum Opfer
gefallen ist.)

MfG,
FF

A proof only becomes a proof after the social act of "accepting it as a
proof". (Yuri Manin)
 

Lesen sie die antworten

#1 Detlef Müller
27/09/2011 - 23:01 | Warnen spam
Am 27.09.2011 21:38, schrieb Franz Fritsche:
Hallo!

Hier ein Textauszug aus einem schon etwas àlteren Büchlein:

"Eine Standardaufgabe in der Differentialrechnung für die Berechnung der
Maxima und Minima stellt das Problem dar, bei Vernachlàssigung der Dicke
einen Baumstamm in waagerechter Lage aus einer Straße mit der Breite a in
eine andere Straße mit Breite b zu bringen, die in die erste Straße
rechtwinklig einmündet. Wie lang darf der Baumstamm höchstens sein, damit
er um die Ecke geht? Es bedarf einiger Rechnerei, um als größtmögliche
Lànge des Stammes

SQRT{[3-rd-SQRT(a^2) + 3-rd-SQRT(b^2)]^3}

zu ermitteln."

Kann das jemand hier freundlicherweise mal "vorrechnen"? (Wobei ich nur
hoffe, dass die Formel stimmt, und nicht dem Druckfehlerteufel zum Opfer
gefallen ist.)



Also, folgendes Bild:

von rechts mündet die Straße mit breite a in die Straße mit Breite
b, die von Unten nach Oben verlàuft.

Auf der unteren Seite der Einmündung gehe ich x Einheiten von der
Einmündung in der einmündenden Straße nach rechts und markiere
den Punkt mit P.
Von P aus peile ich über die gegenüberliegende Ecke der Einmündung
Den Punkt Q auf der Straße der Lànge b an - die Streckenlànge
y = PQ ist die Lànge eines Baumstammes, der an die Ecke schrammt und an
beide Straßengrenzen stößt.
Diese ist zu minimieren (Der Stamm soll ja für jedes x passen).
Um y in Abhàngigkeit von x zu berechnen, fàlle ich das Lot von P
auf die Straßenseite, auf der Q liegt und erhalten einen Punkt Q',
mit dem Strahlensatz gilt: QQ'/a=(x+b)/x => QQ' = a (x+b)/x.

Wir erhalten nach Pythagoras: y^2 = (QQ')^2+(x+b)^2, also
y^2=a^2(x+b)^2/x^2+(x+b)^2=((x+b)^2*(x^2+a^2))/x^2.
Dies lasse ich von Maxima ableiten und erhalte:
(2*(x+b)*(x^3-a^2*b))/x^3, was reelle Nullstellen für
x=-b, x= a^(2/3)b^(1/3) hat.
für x= a^(2/3)b^(1/3) wird y^2 (also auch y) minimal
(Vorzeichenwechsel - nach + der Ableitung bzw. andere
Überlegungen).
Hier ist dann y^2= b^2+3*a^(2/3)*b^(4/3)+3*a^(4/3)*b^(2/3)+a^2(b^(2/3)+a^(2/3))^3 => y=(b^(2/3)+a^(2/3))^(3/2)

Das ist auch das angegebene Ergebnis.

Die Mühseligen Teile habe ich allerdings dem Computer
überlassen.

Gruß,
Detlef

Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de

Ähnliche fragen