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Mathematisches Verständnis entwickeln

05/06/2009 - 18:00 von lisa.mainhard | Report spam
Hallo!

Mir bereitet die Algebra leider Probleme. Am besten, ich fange mal mit
einem Satz an:

Sei a ein Ideal in einem Ring R und M ein R-Modul. Dann gibt es einen
kanonischen Isomorphismus:

phi : R/a (x) M > M/(aM)
mit (r+a) (x) m --> m+ aM

m ist ein Element in M und r ein Element des Rings R;
(x) bezeichne hier das Tensorprodukt

Ich bin jemand, der sich immer alles veranschaulichen möchte und
konkrete Beispiele haben will. Gewisse Dinge aus der Algebra sind mir
irgendwie zu ungreifbar und abstrakt. Deshalb konnte ich bislang noch
kein intuitives Verstàndnis dieser Dinge entwickeln.
Wenn ich mich Schritt für Schritt durch den Beweis arbeite, dann kann
ich ihn auch verstehen (es wird gezeigt, dass phi surjektiv ist und
der Kern von phi trivial ist). Die Abbildung phi ist also bijektiv.
Heißt dass dann, dass R/a (x) M und M/(aM) in gewisser Weise das
gleiche sind bzw. die gleiche Struktur besitzen?

Wie stellt ihr euch so etwas vor? Gar nicht? Für mich ist das Ganze
nicht so richtig befriedigend, weil in den Vorlesungen stàndig neue
Sàtze bewiesen werden und ich mir im Grunde genommen gar nichts
vorstellen kann, was gewisse mathematische Objekte bzw. math.
Konstruktionen wie Faktorràume, Dualràume, Tensoren, Algebren,...
überhaupt sind.

Wie soll ich an die Dinge rangehen? Welchen Tipp würdet ihr mir geben?
Einfach stur die Definitionen lernen und anwenden?
Welche Literatur könnt ihr mir empfehlen? Ich suche insbesondere
Bücher, die den Stoff nicht nach Schema F vermitteln (Definition -
Satz - Beweis - nàchste Definition etc.), sondern halt ein wenig
lebendiger geschrieben sind und wo das Durcharbeiten auch mal ein
bißchen Spass macht und die einen anschaulichen Zugang zur Mathematik
bieten.

Was mir im Übrigen noch aufgefallen ist: Wenn mir jemand den Stoff
zuerst mal "unscharf" erklàrt, also nicht hunderprotzentig genau und
mich nicht mit Indices überschwàmmt und so, sondern die Grundbedeutung
einer Sache anschaulich vermittelt, dann kapier ich etwas viel besser.
Doch leider ist die allgemeine Herangehensweise in Lehrbüchern dann
doch immer die pràzise, aber unverstàndliche Art.

Danke für die Anregungen und Tipps im Voraus!

Lisa Mainhard
 

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#1 Marc Olschok
05/06/2009 - 20:51 | Warnen spam
wrote:
Hallo!

Mir bereitet die Algebra leider Probleme. Am besten, ich fange mal mit
einem Satz an:

Sei a ein Ideal in einem Ring R und M ein R-Modul. Dann gibt es einen
kanonischen Isomorphismus:

phi : R/a (x) M > M/(aM)
mit (r+a) (x) m --> m+ aM

m ist ein Element in M und r ein Element des Rings R;
(x) bezeichne hier das Tensorprodukt

Ich bin jemand, der sich immer alles veranschaulichen möchte und
konkrete Beispiele haben will. Gewisse Dinge aus der Algebra sind mir
irgendwie zu ungreifbar und abstrakt. Deshalb konnte ich bislang noch
kein intuitives Verstàndnis dieser Dinge entwickeln.
Wenn ich mich Schritt für Schritt durch den Beweis arbeite, dann kann
ich ihn auch verstehen (es wird gezeigt, dass phi surjektiv ist und
der Kern von phi trivial ist). Die Abbildung phi ist also bijektiv.
Heißt dass dann, dass R/a (x) M und M/(aM) in gewisser Weise das
gleiche sind bzw. die gleiche Struktur besitzen?



Richtig. Zwei zueinender isomorphe Moduln sind aus Sicht der
Modultheorie gleich. Der Begriff der Isomorphie leistet
genau diese Identifizierung, wie auch bei Gruppen, Ringen
und anderen Strukturen.


Wie stellt ihr euch so etwas vor? Gar nicht? Für mich ist das Ganze
nicht so richtig befriedigend, weil in den Vorlesungen stàndig neue
Sàtze bewiesen werden und ich mir im Grunde genommen gar nichts
vorstellen kann, was gewisse mathematische Objekte bzw. math.
Konstruktionen wie Faktorràume, Dualràume, Tensoren, Algebren,...
überhaupt sind.



Das Tempo, in dem in der Algebra fortlaufend neue Begriffe eingeführt
werden, kann schon einmal zum Problem werden. Um von denen eine
anschauliche Vorstellung zu entwickeln, braucht es erst einmal Zeit.
Wichtig wàre es, genügend Beispiele für diese neuen Dinge zu geben.

Eine andere Sache ist, dass die gleichen Konzepte in verschiedenen
Situationen auftauchen. Das kann man gegebenfalls ausnutzen.
Ich fand es zum Beispiel, als ich in der LA I saß, sehr hilfreich,
dass der Homomorphiesatz das erste mal für Mengen formuliert wurde,
dann etwas spàter für Gruppen, und schließlich für Ringe und für Moduln.
Dadurch waren beim zweiten und dritten Auftauchen bestimmte
Bestandteile schon bekannt.


Wie soll ich an die Dinge rangehen? Welchen Tipp würdet ihr mir geben?
Einfach stur die Definitionen lernen und anwenden?



Im wesentlichen ja, besonders das anwenden.
Darüber hinaus aber auch auf Beispiel (und Nichtbeispiele) gucken,
damit sich ein Gefühl dafür einstellt, wass denn alles unter den
eingeführten Begriff fàllt. Dazu auch durchaus vereinfachte
Beispiele (also. z.B. etwas für R-Moduln mit R=Z oder Z/2Z
durchspielen), damit man sich manches leichter merken kann.

Welche Literatur könnt ihr mir empfehlen? Ich suche insbesondere
Bücher, die den Stoff nicht nach Schema F vermitteln (Definition -
Satz - Beweis - nàchste Definition etc.), sondern halt ein wenig
lebendiger geschrieben sind und wo das Durcharbeiten auch mal ein
bißchen Spass macht und die einen anschaulichen Zugang zur Mathematik
bieten.



Für welchen Stoff ist es denn genau gedacht? Suchst Du ein Buch
zur Begleitung einer Vorlesung oder zum selberlernen?


Was mir im Übrigen noch aufgefallen ist: Wenn mir jemand den Stoff
zuerst mal "unscharf" erklàrt, also nicht hunderprotzentig genau und
mich nicht mit Indices überschwàmmt und so, sondern die Grundbedeutung
einer Sache anschaulich vermittelt, dann kapier ich etwas viel besser.
Doch leider ist die allgemeine Herangehensweise in Lehrbüchern dann
doch immer die pràzise, aber unverstàndliche Art.



Nun ja, unpràzise wàre natürlich auch unverstàndlich.
Aber ich gebe Dir recht, es hilft, wenn man nicht sofort mit allen
Details überschüttet wird.

Marc

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