Matrix-Approximation

28/02/2008 - 15:09 von Ralf Goertz | Report spam
Hallo,

ich habe folgendes Problem. Gegeben sind ein m-spaltiger Zeilenvektor a
und ein n-zeiliger Spaltenvektor h. Weiterhin sind die Komponentensummen
von a und h gleich und größer 0, also
0<sum(i=1..m,a_i)=sum(j=1..n,h_j).

Gesucht ist nun eine n x m Matrix M, so dass gilt

M' * a' = h
M * h = a'

wobei ' die Tranposition meint.

Nun ist das Problem nicht lösbar, wie man sich leicht für m=n=2
klarmachen kann. Ich suche daher eine Matrix, die den Fehler minimiert.
d.h. eine Matrix, mit der gilt

M' * a' = h + eps1
M * h = a' + eps2

mit minimalen eps_i, wobei die Minimalitàt über eps_i' * eps_i
berechnet werden soll.

Besser wàre allerdings noch folgendes. Ich habe schon eine Matrix D,
welche die Attraktivitàt zwischen a und h beschreibt. Ideal wàre es,
wenn M zusàtzlich zur Minimalitàt noch ein Vielfaches von D wàre, also
M=s*D mit einem Skalar s. Mir ist klar, dass das im Allgemeinen nicht
geht, aber auch hier würde ich gern den Fehler minimieren. Wie kann ich
so etwas berechnen?

Ralf
 

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#1 earthnut
28/02/2008 - 19:13 | Warnen spam
Ralf Goertz wrote:

Hallo,

ich habe folgendes Problem. Gegeben sind ein m-spaltiger Zeilenvektor a
und ein n-zeiliger Spaltenvektor h. Weiterhin sind die Komponentensummen
von a und h gleich und größer 0, also
0<sum(i=1..m,a_i)=sum(j=1..n,h_j).

Gesucht ist nun eine n x m Matrix M, so dass gilt

M' * a' = h
M * h = a'

wobei ' die Tranposition meint.

Nun ist das Problem nicht lösbar, wie man sich leicht für m=n=2
klarmachen kann. Ich suche daher eine Matrix, die den Fehler minimiert.
d.h. eine Matrix, mit der gilt

M' * a' = h + eps1
M * h = a' + eps2

mit minimalen eps_i, wobei die Minimalitàt über eps_i' * eps_i
berechnet werden soll.

Besser wàre allerdings noch folgendes. Ich habe schon eine Matrix D,
welche die Attraktivitàt zwischen a und h beschreibt. Ideal wàre es,
wenn M zusàtzlich zur Minimalitàt noch ein Vielfaches von D wàre, also
M=s*D mit einem Skalar s. Mir ist klar, dass das im Allgemeinen nicht
geht, aber auch hier würde ich gern den Fehler minimieren. Wie kann ich
so etwas berechnen?

Ralf



Aus Symmetriegründen habe ich aus der ersten Gleichung aM=h' gemacht.
Die zweite habe ich bei Mh=a' gelassen. M soll nun sD sein, daher wird
aus den Gleichungen saD=h' und sDh=a'. Das ist aber nicht ganz zu
erfüllen, aber die Abweichungen (h'-saD und a'-sDh) sollen möglichst
klein werden.

Ich habe daher den Ausdruck (||h'-saD||^2 + ||a'-sDh||^2) minimiert und
bekomme dafür

<h',aD> + <a',Dh>
s = -
||aD||^2 + ||Dh||^2

(<.,.> = Standard-Skalarprodukt, ||.|| = Euklidische-Norm)

Richtig Gedanken darüber, was ich da eigentlich gemacht hab, hab ich mir
nicht. Daher weiß ich auch nicht, ob das Ergebnis das ist, was gewünscht
ist.

Bastian

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