Matrix-Darstellung des quantenmechanischen Drehimpulses

10/06/2009 - 22:05 von Alexander Erlich | Report spam
Hallo,

ich habe meine Frage hier getext:
http://www.airlich.de/Semester4/Fra...impuls.pdf

Für eine Erlàuterung wàre ich sehr dankbar!

Gruß
Alexander
 

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#1 Hendrik van Hees
10/06/2009 - 22:43 | Warnen spam
Sei A ein Operator und |n> (n \in N={1,2,3,...}) ein VONS. Jeder
Vektor |psi> làßt sich dan umkehrbar eindeutig in den Hilbertraum der
quadratsummierbaren Folgen l^2 abbilden:

|psi> |-> psi_n=<n|psi> (1)

Umgekehrt folgt aus der Vollstàndigkeitsrelation

sum_n |n><n|=1, (2)

daß

|psi>=\sum_n |n><n|psi>=\sum_n psi_n |n> (3)

ist. Umgekehrt ergibt für jede l_2-Folge psi_n (3) einen Vektor |psi>,
so daß man eine umkehrbar eindeutige lineare Abbildung von H nach l^2
hat. Alle separablen Hilbertràume sind daher àquivalent (also z.B. der
Raum der quadratintegrablen Funktionen L^2(R^3) ist àquivlant zu l^2
usw.). Diese Äquivalenzklasse der separablen Hilbertràume ist der
abstrakte Hilbertraum H, und dessen Elemente bezeichnen wir mit Diracs
kets.

Ist nun A eine beliebige lineare Abbildung in H, so ist diese bereits
vollstàndig bestimmt, wenn man die Matrixelemente

A_{jk}=<j|A k>

kennt. Es gilt offenbar

A |psi>=\sum_{jk} |j><j|A k><k|psi>
=\sum_{jk} |j> A_{jk} psi_k,

d.h. im Sinne des obigen Isomorphismus zwischen H und l^2, wird also der
Operator A durch die Matrix A_{jk} repràsentiert, die auf den
Vektorkomponenten psi_k nach den Regeln der üblichen
Matrix-Vektormultiplikation operiert, wenn man sich die psi_k als
Spaltenvektor angeordnet denkt.

Im Falle eines Drehimpulsoperators \vec{K} in einem Eigenraum des
Operators \vec{K}^2 zum Eigenwert k(k+1) (hbar setze ich der
Einfachheit halber 1) hast Du es mit einem endlichdimensionalen
Hilbertraum zu tun. Als Basisvektoren wàhlt man üblicherweise die
Eigenvektoren von K_z zu den Eigenwerten m, wobei m \in (-j,-j+1,...,j)
ist. Mögliche Werte von j sind bekanntlich 0,1/2,1,3/2,... Der
Hilbertraum ist also in dem Fall (2j+1)-dimensional.

Die Matrizen, nach denen Du fragst sind nach der obigen Betrachtung
gerade die Matrixelemente

K_{+,m' m}=<k m'|J_x j m>,

wobei wie üblich m' die Zeilen und m in jeder Zeile die Spalten
durchnumeriert.


Alexander Erlich wrote:

Hallo,

ich habe meine Frage hier getext:



http://www.airlich.de/Semester4/Fra...impuls.pdf

Für eine Erlàuterung wàre ich sehr dankbar!

Gruß
Alexander



Hendrik van Hees Institut für Theoretische Physik
Phone: +49 641 99-33342 Justus-Liebig-Universitàt Gießen
Fax: +49 641 99-33309 D-35392 Gießen
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/

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