Matrixzerlegung, leicht unkonventionell

05/02/2008 - 16:20 von Hauke Reddmann | Report spam
Sagnwama (deutsch für "Let" :-), m1 sei eine
4x2-Matrix und m2 2x4. Dann ist m=m1*m2 4x4
und hat Rang 2. Kann ich den Prozeß umkehren,
also mit einer beliebigen 4x4-Matrix m, Rang 2, starten
und dazu eine 4x2 und 2x4-Matrix finden, deren
Produkt M ist? Wenn ja, wie? Ist es eindeutig
oder zumindest eine Normalform definierbar (klar,
(m1/f)*(m2*f), f skalar, geht auch)? Natürlich kann
man 2 und 4 durch n1 und n2, n1<n2 ersetzen.

Hauke Reddmann <:-EX8 fc3a501@uni-hamburg.de
Er-a svo gott sem gott kveða
öl alda sonum, því að færra veit
er fleira drekkur síns til geðs gumi.
 

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#1 Jan Fricke
05/02/2008 - 17:01 | Warnen spam
Hauke Reddmann wrote:
Sagnwama (deutsch für "Let" :-), m1 sei eine
4x2-Matrix und m2 2x4. Dann ist m=m1*m2 4x4
und hat Rang 2. Kann ich den Prozeß umkehren,
also mit einer beliebigen 4x4-Matrix m, Rang 2, starten
und dazu eine 4x2 und 2x4-Matrix finden, deren
Produkt M ist? Wenn ja, wie? Ist es eindeutig
oder zumindest eine Normalform definierbar (klar,
(m1/f)*(m2*f), f skalar, geht auch)? Natürlich kann
man 2 und 4 durch n1 und n2, n1<n2 ersetzen.



O.B.d.A. kann man davon ausgehen, dass die zu Untersuchende Matrix schon
in Jordan-Normalform vorliegt. Hier spielt erst einmal nur der Eigenwert
Null eine Rolle, also gehen wir mal davon aus, dass es eine Blockmatrix

/ X 0 \
| |
\ 0 N /

mit einer regulàren Matrix X und einer nilpotenten Matrix N ist. Wir
suchen also A, B, C und D so, dass

/ A \ / X 0 \ / A \
| | * (C D) = | | und (C D) * | | regulàr.
\ B / \ 0 N / \ B /

Wegen AC=X sind A und C regulàr, also folgt aus BC=0 und AD=0, dass B
und D Nullmatrizen sind. Folglich muss N die Nullmatrix sein, also:

*Existenz*: So eine Zerlegung ist nur dann möglich, wenn für den
Eigenwert Null die algebraische Vielfachheit [Vielfachheit im
charakteristischen Polynom] und geometrische Vielfachheit [Dimension des
Kerns] übereinstimmen.


Jetzt muss also nur noch geschaut werden, welche Werte CA für gegebenes
X¬ annehmen kann. Das ist aber nichts anderes als
CA = A^(-1) * X * A,
d.h. CA ist àhnlich zu X. Also:

*Eindeutigkeit*: Die gesuchte (kleinere) Matrix ist àhnlich zum
Jordan-Block X; eine vernünftige Normalform ist also dieser Jordanblock
X selbst.


Viele Grüße Jan

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