Matrizen - Invertierbarkeit

21/07/2014 - 09:32 von Udo | Report spam
Hallo, liebe Mitleser,

ich habe eine simple Frage zur Invertierbarkeit von Matrizen.
Warum kann man nur quadratische Matrizen (wenn überhaupt)
invertieren?
Kann es für nicht-quadratische Matrizen grundsàtzlich keine
Inverse geben und wie kann man das begründen?
Ich habe auf diese einfache Frage weder bei Wikipedia noch
in meinen Lehrbüchern eine Antwort gefunden - vielleicht weil
das so "offensichtlich" ist?
Ich seh's einfach nicht!

Wàre für Hilfe dankbar ...
Grüße
Udo
 

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#1 Roland Franzius
21/07/2014 - 10:08 | Warnen spam
Am 21.07.2014 09:32, schrieb Udo:
Hallo, liebe Mitleser,

ich habe eine simple Frage zur Invertierbarkeit von Matrizen.
Warum kann man nur quadratische Matrizen (wenn überhaupt)
invertieren?
Kann es für nicht-quadratische Matrizen grundsàtzlich keine
Inverse geben und wie kann man das begründen?
Ich habe auf diese einfache Frage weder bei Wikipedia noch
in meinen Lehrbüchern eine Antwort gefunden - vielleicht weil
das so "offensichtlich" ist?
Ich seh's einfach nicht!




Eine nxm-Matrix ist die Koordinantendarstellung einer linearen Abbildung
von einem m-dimensionalen Vektorraum in einen n-dimensionalen
Vektorraum. Nur wenn die beiden Vektorràume gleiche Dimension haben und
zusàtzlich die Abbildung 1-1 ist, ist sie (punktpaarweise ) umkehrbar.

Es gibt aber der Begriff des Pseudoinversen.

Man zerlegt die beiden Ràume in je zwei Unterràume gleicher Dimension,
zwischen denen die Matrix bijektiv operiert und die Komplemente dazu.
Dann kann man durch Wahl neuer Koordinaten zu einer
Blockmatrixdarstellung der Form

M= {{ A_mxm,B_mxk},
{C_lxm, D_lxk} }

gelangen, wobei die quadratische Matrix A invertierbar ist und B,C,D für
viele Anwendungen uninteressant sind, zB wenn man beim Ansatz die
geeigneten Dimensionen beider Ràume oder für ein gegebenes Problem die
Kentnis der bijektiv unter M àqivalenten Unterràume, die wirklich
interessieren, noch nicht voraussetzen kann.

Wie man sieht, ist das Problem - von der Darstellung in Koordinaten her
gesehen - diffizil darzustellen, weil die saubere Anordung in Blöcken
Vertauschungen von Zeilen und Spalten und weitere
Koordinatentransformationen in zwei verschiedenen Ràumen, also den
gesamten Apparat der Zerlegung vom Matrizen für die Berechnung von
Determinanten, Inverse und Lösung linearer Gleichungssysteme voraussetzt.

Daher trennt man die Darstellung dieses weiteren Teils der linearen
Algebra ia. von der spezialisierten Untersuchung von Automorphismen ab,
bei der Urbildraum und Bildraum identisch sind und nur eine
Koordinatentransformation dieses einen Raumes für die Herstellung von
Normalform, Determinanten und Inversen untersucht werden müssen.


Roland Franzius

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