MatriZeta- eine introduktion

17/11/2009 - 21:41 von Gottfried Helms | Report spam
Also, nach den heftigen Anrufungen aus der NG will
ich mir Mühe geben, meine Matrix-dingens verstàndlicher
zu machen.

==Teil I
==1) Dies ganze Matrix-konzept ist zunàchst ein reines
Notationsmodell, nichts irgendwie Neues oder speziell
kompliziertes. Wenn Leibniz damals die Schreibweise
df/dx für die Ableitung eingeführt hat, so bestand der
primàre Nutzeffekt der Sache simpel in einer Klàrung und
einer leistungsfàhigen Notation.

Ich habe einfach für die Diskussion von Operationen
mit Zahlenfolgen, spàter dann und hauptsàchlich von
Operationen mit Potenzreihen (immer zunàchst formal,
in Bezug auf ihre Koeffizienten) die simpelstmögliche
Notation in Matrixalgebra verwendet, so daß ich z.B. das
Binomial-theorem per Matrixformel ausdrücken kann:

P * V(x) = V(x+1)

und rekursive/iterierte Anwendung z.B.

P^2 * V(x) = P*(P*V(x)) = P*V(x+1) = V(x+2)

Ich erklàre die Pascalmatrix P und der Vandermondevektor V(x)
weiter unten.
Der Sinn der Sache erschließt sich z.B. erstmals durch
die offensichtliche Operation

P^-1* V(x+1 ) = P^-1*P * V(x) = I * V(x) = V(x)

die in der üblichen Form des Binomialtheorems, bzw seiner
Invertierung, schon nicht mehr trivial ist.

-

2) Der Auslöser des Ganzen sollte nicht unerwàhnt bleiben,
weil er ein Prinzip markiert, und aber auch eine Leitlinie
für das Ausmaß der Anwendung dieses ganzen Schemas bleibt.

Bei Gedanken über das 2-tupel für komplexe Zahlen, über deren
Multiplikation und Division, und deren Abbild über euklidische
Rotationen fàllt auf, daß die volle Information über eine
Rotation und damit die Möglichkeit der Inversion am besten
über sin/cos-Matrizen beschrieben wird; d.h. im Kern,
daß Funktionen in ihrer Wirkungsweise vollstàndiger
beschrieben werden, wenn die Anzahl ihrer Output-parameter
so groß wie die Anzahl der Input-parameter ist.

Die zweite Grundsatz-Idee hier war also, daß bei Betrachtung
einer Funktion f(x) von x, die als Potenzreihe beschrieben
ist, f(x) = y = a + b*x + c*x^2 + ...
ich nicht nur das skalare ergebnis y betrachten will, sondern
gleichzeitig auch y^0, y^2,y^3... erhalten - denn dann kann
ich direkt die Funktion invertieren oder iterieren etc.

Dieser mehrparametrische Output geht aber nur über eine
Matrixdarstellung. Für die Betrachtung von monomischen oder
polynomischen Funktionen mag hier eine finite Matrix und
finite Vektoren ausreichen; für Potenzreihen brauchen wir
das Konzept der infiniten Matrizen.
Deshalb sind in dieser Matrixalgebra-Notationen Matrizen
prinzipiell infinite gedacht.
Das bringt spezielle Probleme mit sich, davon jedoch spàter.



3) Ich verwende einige Standardbezeichnungen, vor allem nur
wenige Standardmatrizen, da das Feld alleine der Binomial-
koeffizienten, Stirlingzahlen, Bell- und Bernoullizahlen,
und der Potenzen natürlicher Zahlen schon soviele interessante
Relationen aufweist, daß die Literatur dazu absolut
un-übersehbar ist und man allein mit der Sammlung altbekannter
und Aufdeckung neuer unbekannter Relationen dieser wenigen
Basismatrizen vollstàndig ausgelastet ist...

Fangen wir an mit der Notation für die Auswertung einer
Potenzreihe

f(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + ...
= sum{k=0..inf} a_k *x^k

Ich schreibe das vektoriell als

f(x) = V(x)~ * A

"A" steht hier für einen allgemeinen Vektor von Koeffizienten a_k und
"V(x)" für den speziellen Typ "Vandermonde-vektor" eines Parameters "x"

V(x) = [ 1, x, x^2, x^3, x^4, ...]

und das Symbol ~ bedeutet Transposition (wie in Pari/GP)

Wenn ein Vektor als Diagonalmatrix verwendet werden soll, füge ich
ein kleines d davor:
dV(x)

Nimmt man die binomial-(oder Pascal)matrix hinzu, die die Form hat
P = 1 . . .
1 1 . .
1 2 1 .
1 3 3 1 ...
...
(infinite fortgesetzt), dann ist, laut Binomial-theorem

P * V(x) = V(x+1)

oder als Beispiel mit konstanten Eintràgen

P * V(1) = V(2)

In üblicher Schreibweise wàre das mit Unbekannter x:

für alle r = 0.. inf // r ist zeilenindex ("r-ow")
sum{c=0..r} ( binomial(r,c)*x^c ) = (x+1)^r

und mit dem Beispiel konstanter Eintràge

für alle r = 0.. inf
sum{c=0..r} ( binomial(r,c)*1^c ) = 2^r

Beachte, daß in diesen einfachen Beispielen die Matrix P und der Vektor V()
nicht einmal infinite sein müssen. Trotzdem verhandle ich das ganze praktisch
immer gleich für alle natürlichen Indizes (beginnend bei 0),also unterstelle
in aller Regel infinite Matrizen.


4) Der Witz ist jetzt, daß komplexere algebraische Ausdrücke,
Zusammensetzungen von Matrizen,..., extrem einfach als Formeln
mit Addition, Multiplikation oder Potenzen dargestellt werden
können, deren Darstellung im "seriellen" Format, also in obiger
sum{...} - Schreibweise unhandhabbar komplex würde.

Z.B allein die 3. Iteration des Binomialtheorems wüßte
ich nicht als Summenformel darzustellen; in der Matrixnotation
schreibe ich einfach

P^3 * V(x) = V(x+3)

oder die Überlegung der Verwendung der geometrischen Reihe der Matrix P

(I - P + P^2 - P^3 + P^4 - ... + ...)* V(0) = (I + P)^-1 * V(0)
= H

liefert mir in H den Vektor der Werte der alternierenden Zetafunktion
(Eta(s)) an Null und den negativen ganzen Zahlen, wobei die Matrix (I+P)^-1
ganz einfach berechnet werden kann, offensichtlich notwendigerweise
rationale Eintràge haben muß (warum? Preisfrage) und daher direkt
erkennbar ist, warum die Eta-funktion Eta(s) an ganzen negativen s rational
sein muß (und damit auch die Zeta-funktion als rationales vielfaches)


5) Die Darstellung als Matrizen ist also nicht Selbstzweck, sondern
soll vor allem immer die Möglichkeit algebraischer Umformungen zeigen,
Transformationen von formalen Potenzreihen, Transformationen von
Kennzahlen wie Binomial, Stirling und anderen Zahlen.

Ein weiteres Beispiel sei die Darstellung der Potenzen natürlicher
Zahlen durch Stirlingzahlen, Binomialzahlen und Fakultàten.
Nehmen wir VZ als Matrix der Potenzen, S2 als Matrix der Stirling-
Zahlen 2. Art und dF als Diagonalmatrix der Fakultàten
dF = diag([0!,1!,2!,...])
dann findet man bspw leicht (ich erklàre das genauer spàter)

VZ = S2 * dF * P~

und Operationen, die man mit den Potenzen in VZ durchführt, beispiels-
weise Verwendung als Koeffizienten für Potenzreihen in der Form

V(x)~ * VZ

kann man-wenn solches beispielsweise eine schwierige Berechnung sein sollte-
matrixalgebraisch auch lösen durch

V(x)~* S2 * dF * P~

was in Einzelschritten

(((V(x)~*S2) * dF ) * P~

möglicherweise leichter berechenbar sein könnte.

Tatsàchlich kann man durch solcherlei Identitàten/Umformungen
oder auch (Matrix-)"Faktorisierung" das Konzept divergenter
Summierung extrem leicht und elegant erklàren und analysieren
und sogar neue matrixbasierte Verfahren finden/erfinden.

6) Zusammenfassung des ersten Teils:

die Notation tut zunàchst nichts weiter als die elementare
Algebra auch für Matrixargumente einzuführen.
Hierbei spielen eine Rolle in erster Linie zahlentheoretisch
relevante Matrizen wie Binomial-,Stirling-,Bernoulli- und
Vandermondematrix.

Im Zusammenhang mit den V(x)-Vandermondevektoren kann man sagen,
daß durch die Matrizen Operationen auf formalen Potenzreihen
formalisiert und abgekürzt notiert werden. Die Auswertung
in Bezug auf ein x und die Frage der Konvergenz/Divergenz dabei
stellt sich dann erst zum Schluß.

Direkt naheliegend ist die Betrachtung der Funktions-inversion
durch die Verwendung der Matrix-inversen (Beispiel oben P und P^-1)

Die Form der simplen Matrixalgebra führt bei geeigneten Matrizen
zu einer ganz natürlichen Möglichkeit der Funktions-Komposition
(durch Matrixprodukte) und vor allem Funktions-iteration (durch
Matrixpotenzen) und schließlich sogar bei geeigneten Matrizen
zur fraktionalen Iteration (durch fraktionale Potenzen der
Matrizen) Hier entsteht der Bezug zur "Tetration", der kontinuierlichen
Extension der iterierten Exponentiation/Logarithmierung, über die
ich und einige Interessierte in den letzten 2 Jahren intensiv
gearbeitet haben (Tetration-forum), wobei ich eben über dieses
Matrixkonzept zu dieser Thematik und dann zu dieser Gruppe
gestoßen bin.

(to be continued)

Gottfried

-
Erklàrung der Matrizen in einem PDF-Format:

Notation, Vektoren
http://go.helms-net.de/math/binomia..._Intro.pdf

Einige Basis-Matrizen
http://go.helms-net.de/math/binomia...trices.pdf
 

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#1 Peter
17/11/2009 - 22:33 | Warnen spam
Gottfried Helms wrote:

Also, nach den heftigen Anrufungen aus der NG will
ich mir Mühe geben, meine Matrix-dingens verstàndlicher
zu machen.



Dat freit mi. Merci.


"V(x)" für den speziellen Typ "Vandermonde-vektor" eines Parameters "x"
V(x) = [ 1, x, x^2, x^3, x^4, ...]
und das Symbol ~ bedeutet Transposition (wie in Pari/GP)



Sag mal, hast du vielleicht so etwas wie ein Pari-Worksheet,
mit dem man diese Notation nachspielen kann? Das würde mir das
Verfolgen sicherlich erleichtern.

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