Maximum der Feldstärke

09/07/2010 - 23:07 von Roland Damm | Report spam
Moin,

bei folgender Frage habe ich irgendwie ein Brett vorm Kopf:

Gegen seien zwei irgendwie geformte Elektroden mit einem Luftraum
dazwischen.

Das elektrische Feld (statisch) im Luftraum gehorcht der Poisson-
Differentialgleichung, siehe:

http://de.wikipedia.org/wiki/Poisso...ktrostatik

Nun behaupte ich folgendes: Innerhalb dieses Gebietes, des Luftraums also,
in dem rho (Ladungsdichte) überall gleich Null ist und epsilon überall
konstant gleich, kann die Feldstàrke (genauer der Betrag davon) kein Maximum
haben. Das absolute Maximum muss an der dem Rand des Gebietes also an der
Oberflàche einer der beiden Elektroden sein.

Anschaulich ist mir klar, dass es so sein muss, aber wie kann man das
einfach begründen b.z.w. mathematisch beweisen?

Anmerkung: Diese blöden Dreiecke, die mal auf der Spitze stehen mal nicht,
bei denen kann ich mir auch nach Jahren von Übungsversuchen nie die
Bedeutung merken. Warum schreibt man nicht einfach rot() oder grad(), da
kann sich jeder normale Mensch was drunter vorstellen :-) .

Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?

CU Rollo
 

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#1 kai-martin knaak
10/07/2010 - 04:04 | Warnen spam
Roland Damm wrote:


Gegen seien zwei irgendwie geformte Elektroden mit einem Luftraum
dazwischen.



Ich nehme mal an, die Elektroden sind wie üblich aus Metall, also gut
leitend.


Das elektrische Feld (statisch) im Luftraum gehorcht der Poisson-
Differentialgleichung, siehe:



Die Poissongleichung nutzt Dir nicht viel, denn Du kennst die
Ladungsverteilung nicht. Die Ladungen organisieren sich vielmehr so, dass
die Oberflàche der Elektroden jeweils eine Äquipotentialflàche ist.


Nun behaupte ich folgendes: Innerhalb dieses Gebietes, des Luftraums also,
in dem rho (Ladungsdichte) überall gleich Null ist und epsilon überall
konstant gleich, kann die Feldstàrke (genauer der Betrag davon) kein
Maximum haben.



Damit bist Du in guter Gesellschaft > Samuel Earnshaw war wohl 1842 der
erste, der dieses Theorem bewies.


Das absolute Maximum muss an der dem Rand des Gebietes also
an der Oberflàche einer der beiden Elektroden sein.



Ja.


Anschaulich ist mir klar, dass es so sein muss, aber wie kann man das
einfach begründen b.z.w. mathematisch beweisen?



Beweis durch Widerspruch:
Die Divergenz ist die Summe der Ableitungen in alle drei Raumrichtungen. An
einem lokalen Maximum vermindert sich das Potential, egal, in welche
Richtung man geht. Das heißt, die Richtungsableitung in der jeweiligen
Richtung ist negativ. Die Summe über alle drei Raumrichtungen ist also auch
negativ und ungleich Null. Mit anderen Worten, die Divergenz ist dort
notwendigerweise ungleich Null. Gemàß Maxwell sollte man an solchen Orten
Ladung finden. Laut Aufgabenstellung soll das im Raum zwischen den
Elektroden aber nicht der Fall sein.


Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?



Kannst Du jetzt hüpfen?

<)kaimartin(>
Kai-Martin Knaak
Öffentlicher PGP-Schlüssel:
http://pgp.mit.edu:11371/pks/lookup?op=get&search=0x6C0B9F53

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