Maximum einer Exponetialfunktion mit 2 Variablen ermitteln

20/03/2009 - 14:36 von Werner News | Report spam
Hallo,

ich erklàre Beobachtungsdaten eines Versuchs durch ein Modell mit einer
Exponentialfunktion mit zwei Faktoren (und deren Wechselwirkung). Durch
Regression habe ich die Parameter bestimmt. Nun suche ich das absolute
Maximum der Funktion.

Bei welchem x und y hat die folgende Funktion ihr absolutes Maximum?
f(x;y) = a + b x + c r^x + d y + e r^y + f x y
mit b>0, c<0, d>0, e<0, f<0 und 0<r<1.

Durch diese Bedingungen für die Parameter giblt für beide Faktoren,
dass die Funktionswerte zunàchste ansteigen, dann ein Maximum erreichen
und nach diesem wieder abfallen. Ein absolutes Maximum dürfte daher
bestimmbar sein.

Notwendige Bedingung für Extrema ist eine Steigung von Null.

Ableitung nach y gleich 0 setzen und nach y auflösen
f'y(x;y) = d + e r^y ln(r) + f x = 0
r^y=-(d + f x) / (e ln(r))
y= log_r [-(d + f x) / (e ln(r))]
(log_r bedeute Logarithmus zur Basis r)

Ableitung nach x gleich 0 setzen und nach y auflösen
e'x(x;y) = b + c r^x ln(r) + f y = 0
y = - (b + c r^x ln(r)) / f
Einsetzen in die Ableitung nach y
e'y(x;y) = d + e ln(r) r^[- (b + c r^x ln(r)) / f] + f x = 0

Làßt sich die letzte Gleichung nach x auflösen?

Werner
 

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#1 Joachim Mohr
20/03/2009 - 15:39 | Warnen spam
Werner News schrieb:

Bei welchem x und y hat die folgende Funktion ihr absolutes Maximum?
f(x;y) = a + b x + c r^x + d y + e r^y + f x y


^^^^ ^^^
exp(kx) exp(ky)
vermeidet dann log_r-
Notwendige Bedingung für Extrema ist eine Steigung von Null.

Ableitung nach y gleich 0 setzen und nach y auflösen
f'y(x;y) = d + e r^y ln(r) + f x = 0
r^y=-(d + f x) / (e ln(r))
y= log_r [-(d + f x) / (e ln(r))]
(log_r bedeute Logarithmus zur Basis r)

Ableitung nach x gleich 0 setzen und nach y auflösen
e'x(x;y) = b + c r^x ln(r) + f y = 0
y = - (b + c r^x ln(r)) / f
Einsetzen in die Ableitung nach y
e'y(x;y) = d + e ln(r) r^[- (b + c r^x ln(r)) / f] + f x = 0

Làßt sich die letzte Gleichung nach x auflösen?

Werner




Nein! Schon eine Gleichung der Form a+x*exp(x)=0 làßt sich nicht in
geschlossener Form (mit den üblichen Funktionen) auflösen).

Vergleiche dazu die "Lambertsche W-Funktion"
http://delphi.zsg-rottenburg.de/faqmath3.html


MFG Joachim

Joachim Mohr Tübingen
http://www.joachimmohr.de

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