Maxwellsches Fallrad - weitere Gedanken

15/04/2011 - 15:21 von Manfred Ullrich | Report spam
In einem Thema hier (kürzlich, Ende Februar) ging es um das Maxwellsche Fallrad. Ein Rad
rollt mit seiner Achse an einem Faden (bzw. zwei Fàden) hàngend abwàrts. Dabei wickelt sich
der Faden ab und das Rad geht mit einer Beschleunigung kleiner g nach unten. Ein Bild:
http://www.physnet.uni-hamburg.de/e....html#bild

Diese Beschleunigung und die Fadenkraft làsst sich relativ leicht herleiten - solange
der Faden echt abrollt. Aber wenn der Faden abgerollt ist (das Fadenende ist am Achsumfang
befestigt), so ist das Rad noch nicht ganz unten, es geht dann ja noch um den Achsradius
weiter nach unten - ohne echtes Abrollen.

Und nun reizte mich, mir Gedanken zu machen und herzuleiten, welche Kraft im Faden ist,
wenn der Faden abgerollt ist, aber das Rad noch nicht die unterste Stellung erreicht hat.
Diese Herleitung fand ich nicht so einfach, aber gelangte schließlich zu einer Formel.

Nun aber wollte ich doch mal mein Ergebnis überprüfen und suchte im Internet, fand aber nur -
mehrfach! - etwas für den Fall, wenn der Faden noch am Abrollen ist.

Nun meine Frage: gibt es hier jemanden, der diese Formel schon kennt oder weiß, wo zu
finden, oder diese selbst herleiten kann und will?

Ich will hier jetzt noch nicht die Formel hinschreiben, aber schon mal verraten, was ich
mit meiner Formel erhalte bei:

Masse m = 2kg
Massentràgheitsmoment J = 1kgm²
Radachsradius r = 0,5m
Abrollstrecke s = 1m ; also ein Meter echtes (letztes) Abrollen!

0,25m bevor das Rad den unterst möglichen Punkt erreicht hat, wàre dann gemàß meiner Rechnung
die Fadenkraft F',24N.

(Übrigens, der Faden sei nach oben hin beliebig lang - nur zur Vereinfachung!)

Gruß
Manfred
 

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#1 ram
15/04/2011 - 19:11 | Warnen spam
"Manfred Ullrich" writes:
Und nun reizte mich, mir Gedanken zu machen und herzuleiten, welche Kraft im Faden ist,



Wenn ich mich einmal nur auf die Richtung zum Erdmittelpunkt
konzentriere:

Die Beschleunigung des Rades mit der Masse M erzeugt bei der
Beschleunigung a des Rades die Kraft F_a von M·a. (Hierbei
gilt eine Beschleunigung zum Erdmittelpunkt als positiv).

Das Gravitationsfeld erzeugt eine Kraft F_g von M · a_g
mit der Schwerebeschleunigung a_g von 9,81 m/s² · M.

Die Differenz F dieser beiden Kràfte F_g - F_a muß vom Faden
aufgenommen und an seine Befestigung übertragen werden.

0,25m bevor das Rad den unterst möglichen Punkt erreicht hat,
wàre dann gemàß meiner Rechnung die Fadenkraft F',24N.



Hier wird a negativ, so daß es plausibel ist, daß F nun
größer als F_g ist. Allerdings bin ich mit den Details des
Vorgangs jetzt nicht so vertraut, daß ich hier nun weitere
Details ausrechnen kann.

Sei E der Zeitpunkt des Ereignisses des Endes des Abrollens
(der Faden berührt das Rad erstmals nur noch an einem
Punkt).

Sei T der spàtere Zeitpunkt des Ereignisses, bei dem der
Schwerpunkt des Rades seinen tiefsten möglichen Punkt
durchlàuft. Bei T ist der senkrechte Impuls des Rades 0.

Wenn Du die Fadenkraft F von E bis T integrierst, dann müßte
dies ja die Summe des Impulses (ich spreche hier nur von der
Komponente zum Erdmittelpunkt) des Rades bei E mit dem in
dieser Zeit noch zusàtzlich übertragenem Gravitationsimpuls
M·( T - E )· a_g ergeben. Das wàre vielleicht eine
Kontrollmöglichkeit.

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