Mechanische Lösungen für geometrische Probleme

22/03/2008 - 09:21 von Jutta Gut | Report spam
Hallo!

Alfred Flasshaar hat in de.rec.denksport (im Thread "Vierseit mit Inkugel"
eine sehr interessante Methode gezeigt, ein Vermessungsproblem zu lösen,
indem man es als mechanisches Problem interpretiert (den auftretenden
Punkten werden verschiedene Massen zugeordnet). Ich kenne einen mechanischen
Beweis für die Konstruktion des Fermat-Punktes. Das ist der Punkt P in einem
spitzwinkeligen Dreieck ABC, für den die Summe der Abstànde AP + BP + CP
minimal wird. Man zeichnet das Dreieck auf eine waagrechte Tischplatte und
bohrt in den Eckpunkten Löcher. Durch diese Löcher zieht man Fàcen, die man
oben zusmmenbindet und unten mit gleichen Gewichten beschwert. Das System
ist im Gleichgewicht, wenn die Gewichte möglichst tief hàngen, d.h. wenn die
Summe der Abstànde vom Knoten zu den Eckpunkten minimal ist. Das ist dann
der Fall, wenn die drei Kraftvektoren einander aufheben. Die Vektoren haben
alle denselben Betrag, daher müssen die Winkel <)APB = <)BPC = <)CPA = 120°
sein. (Siehe http://www.math4u.de/, Aufgabe D.55)

Kennt jemand noch andere geometrische Probleme, die man mit einer
mechanischen Interpretation lösen kann?

Grüße
Jutta
 

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#1 Christopher Creutzig
22/03/2008 - 13:41 | Warnen spam
Jutta Gut wrote:

Kennt jemand noch andere geometrische Probleme, die man mit einer
mechanischen Interpretation lösen kann?



Vor vielen Jahren gab es mal eine Reihe von solchen Beispielen (bei
weitem nicht nur geometrischer Natur) in den mathematischen Spielereien
im Spektrum der Wissenschaft. Spontan erinnere ich mich an den
Seifenfilm zum Auffinden lokal minimaler Spannbàume oder auch zum Finden
des Weges eines Lichtstrahls in inhomogenen Medien. Oder, auch sehr
schön, der Analogrechner zum Sortieren mit Hilfe ungekochter Spaghetti:
Auf die richtige Lànge brechen, alle in die Hand nehmen und senkrecht
auf die Tischplatte klopfen. Mit Hilfe eines Balkens und seines
Biegemomentes wurden Kubikwurzeln gezogen, ein mit Schnüren realisiertes
Netzwerk (ein Graph mit Kantenkosten, dargestellt durch Schnurlànge)
wurde an irgendeinem Knoten angehoben, dann am tiefsten
herunterhàngenden Knoten hochgehalten - der làngste (teurste) Weg im
ganzen Netzwerk hàngt senkrecht nach unten. Ach ja, auch sehr schön:
Messpunkte in ein Brett bohren, Gummiringe so anbringen, dass sie im
entspannten Zustand gerade aus den Löchern schauen, einen Stab durch
alle Ringe stecken. Voilá, die Ausgleichsgerade.

Dass man den Schwerpunkt einer beliebig geformten Flàche dadurch finden
kann, dass man sie aus einem homogenen Material (z.B. Karton oder Pappe)
ausschneidet, zweimal an einem beliebigen Punkt aufhàngt und jedes mal
mit Hilfe eines Senkbleis das Lot durch den Aufhàngungspunkt anzeichnet,
ist bekannt, richtig?

if all this stuff was simple, we'd
probably be doing something else. -- Daniel Lichtblau, s.m.symbolic

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