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Mehrblättrige Flaechen von geschlossenen Polygonzuegen

30/03/2012 - 09:33 von Michael Klemm | Report spam
Hallo!

In der Ebene R x R seinen beliebige Punkte p_1, ... , p_n gegeben.
Ich betrachte den geschlossene Polygonzug,
der p_1 mit p_2, p_2 mit p_3, ..., p_n mit p_1 verbindet.

Weiter sei F die Flàche, welche vom Rand der Konfiguration
eingeschlossen wird.

Dann zerfàllt F in Teilfàchen F_{z, i_z}
deren Rànder von den Kanten des Polygonzugs begrenzt
werden und deren Inneres von keiner Kante geschnitten wird.

Dabei soll gelten:
z = Anzahl der Kanten, die F_{z, i_z} rechts herum umranden,
minus Anzahl der Kanten, die F_{z, i_z} links herum umranden.

Ich vermute die Gültigkeit der Formel

Summe_z z [Summe_{i_z} vol(F_{z,i_z})] = +/- [det(p_1,p_2) + det(p_2,p_3)
+...+ det(p_n,p_1)]/2.

Dabei ist vol(X) der Flàcheninhalt von X
und det((a,b),(c,d)) = ad - bc.

Gruß
Michael
 

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#1 Detlef Müller
30/03/2012 - 21:25 | Warnen spam
On 30.03.2012 09:33, Michael Klemm wrote:
Hallo!

In der Ebene R x R seinen beliebige Punkte p_1, ... , p_n gegeben.
Ich betrachte den geschlossene Polygonzug,
der p_1 mit p_2, p_2 mit p_3, ..., p_n mit p_1 verbindet.

Weiter sei F die Flàche, welche vom Rand der Konfiguration
eingeschlossen wird.

Dann zerfàllt F in Teilfàchen F_{z, i_z}
deren Rànder von den Kanten des Polygonzugs begrenzt
werden und deren Inneres von keiner Kante geschnitten wird.

Dabei soll gelten:
z = Anzahl der Kanten, die F_{z, i_z} rechts herum umranden,
minus Anzahl der Kanten, die F_{z, i_z} links herum umranden.



Ich verstehe noch nicht so recht, was hier genau gemeint
ist.

Vielleicht mal am Beispiel überlegen (Beispiel mit Geogebra
o.Ä. schnell hin gemalt):

A(2,2)->B(4,1)->C(2,4)->D(1,0)->E(4,3)->A(2,2)

Aufgemalt sehe ich da (mit Äußerem) 5 Teilgebiete.
Das Volumen vom Viereck innen wird positiv umrundet,
hàtte als z=4, dir Dreiecke mit Ecken E und B hàtten
z=1 und das fehlende weitere innere Gebiet ebenfalls,
richtig so?

Ich vermute die Gültigkeit der Formel

Summe_z z [Summe_{i_z} vol(F_{z,i_z})] = +/- [det(p_1,p_2) + det(p_2,p_3)
+...+ det(p_n,p_1)]/2.

Dabei ist vol(X) der Flàcheninhalt von X
und det((a,b),(c,d)) = ad - bc.

Gruß
Michael






Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de

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