Mehrdimensionales Sekantenverfahren

07/03/2010 - 12:07 von Thomas Koenig | Report spam
Hallo miteinander,

Was haltet ihr von folgender Methode zur Nullstellensuche?

Erklàrung zunàchst in zwei Dimensionen, die Verallgemeinerung auf
mehrere Dimensionen sollte klar sein.

Gegeben seien zwei Funktionen, f(x,y) und g(x,y).

Als Startwerte gegeben seien drei Koordinaten (x1, y1), (x2, y2),
(x3, y3). Es werden zwei Ebenen im R^3 bestimmt, aus den
Punkten

(x1, y1, f(x1, y2)) , (x2, y2, f(x2, y2)), (x3, y3, f(x3,y3))
(x1, y1, g(x1, y2)) , (x2, y2, g(x2, y2)), (x3, y3, g(x3,y3))

Der Schnittpunkt der Ebenen mit der Ebene (z=0) und miteinander
ist der neue Schàtzwert (xn, yn). Natürlich müssen die
Startwerte gut genug sein, so dass das lineare Gleichungssystem
nicht entartet ist.

Update der Punkte kann nach unterschiedlichen Methoden erfolgen;
der Punkt mit dem höchsten Funktionswert kann rausgeworfen werden
(für eine geeignte Skalierung), oder der àlteste. Wenn man mit
den ursprünglichen Nàherungspunkten für jede Funktion einen
Vorzeichenwechsel hat, könnte man probieren, diese Eigenschaften
beizubehalten (wenn es denn klappt).

Ich glaube irgendwie nicht, dass ich der erste bin, der sich sowas
ausgedacht hat :-) Gibt es so etwas in der Literatur, und hat
es irgendwelche heftigen Nachteile, die ich jetzt im Augenblick
nicht erkenne?
 

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#1 Ulrich Lange
07/03/2010 - 17:57 | Warnen spam
Thomas Koenig schrieb:
Hallo miteinander,



Hallo Thomas,

Was haltet ihr von folgender Methode zur Nullstellensuche?

Erklàrung zunàchst in zwei Dimensionen, die Verallgemeinerung auf
mehrere Dimensionen sollte klar sein.

Gegeben seien zwei Funktionen, f(x,y) und g(x,y).

Als Startwerte gegeben seien drei Koordinaten (x1, y1), (x2, y2),
(x3, y3). Es werden zwei Ebenen im R^3 bestimmt, aus den
Punkten

(x1, y1, f(x1, y2)) , (x2, y2, f(x2, y2)), (x3, y3, f(x3,y3))
(x1, y1, g(x1, y2)) , (x2, y2, g(x2, y2)), (x3, y3, g(x3,y3))

Der Schnittpunkt der Ebenen mit der Ebene (z=0) und miteinander
ist der neue Schàtzwert (xn, yn). Natürlich müssen die
Startwerte gut genug sein, so dass das lineare Gleichungssystem
nicht entartet ist.

Update der Punkte kann nach unterschiedlichen Methoden erfolgen;
der Punkt mit dem höchsten Funktionswert kann rausgeworfen werden
(für eine geeignte Skalierung), oder der àlteste. Wenn man mit
den ursprünglichen Nàherungspunkten für jede Funktion einen
Vorzeichenwechsel hat, könnte man probieren, diese Eigenschaften
beizubehalten (wenn es denn klappt).



Die Idee mit dem Vorzeichenwechsel verstehe ich nicht. Anders als im
1D-Fall bedeuten Vorzeichenwechsel von f und g in den 3 Punkten im 2D ja
nicht unbedingt, daß "dazwischen" (d.h. im aufgespannten Simplex) eine
gemeinsame Nullstelle von f und g liegt.

Beispiel:

f(x,y) = x^2 + y^2 - 1
g(x,y) ) x - y + 1

(x1,y1) = (0,0) f = -1 g = 1
(x2,y2) = (2,0) f = 3 g = 3
(x3,y2) = (0,2) f = 3 g = -1

Beide Funktionen haben einen Vorzeichenwechsel, aber es gibt keine
gemeinsame Nullstelle.

Ich glaube irgendwie nicht, dass ich der erste bin, der sich sowas
ausgedacht hat :-) Gibt es so etwas in der Literatur, und hat
es irgendwelche heftigen Nachteile, die ich jetzt im Augenblick
nicht erkenne?



Broyden's Method kommt Deiner Idee IMHO ziemlich nahe (benutzt bloß ein
anderes Update). Guckst Du hier:

http://en.wikipedia.org/wiki/Broyden's_method



Gruß, Ulrich Lange

(ulrich punkt lange bindestrich mainz at t-online punkt de)

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