Mengengrenzwert

06/06/2015 - 21:49 von WM | Report spam
Die positiven Brüche 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, 1/4, 2/3, ... können abgezàhlt werden. Nach dem Abzàhlen der ersten n Brüche enthalten einige reelle Intervalle s_k = (k-1, k] einige abgezàhlte Brüche.

Die Mengenlehre erlaubt die Berechnung des Grenzwertes der Folge (S_n) von Mengen von Intervallen s_k:

S_n = {s_k | k =< n & (k-1, k] enthàlt unendlich viele nicht abgezàhlte Brüche}

Der mengentheoretische Grenzwert gibt den Fall an, dass alle natürlichen Zahlen zum Abzàhlen verbraucht worden sind und daher eine weitere Abzàhlung verbleibender Brüche nicht möglich ist. Dieser Grenzwert ist
Lim{n--> oo} S_n = {s_k | k in |N}}
d.h., alle unendlich vielen Intervalle enthalten jeweils unendlich viele nicht abgezàhlte und nicht mehr abzàhlbare Brüche.

Natürlich ist es eine Frage des persönlichen Geschmacks, was man daraus schließen möchte.

Regards, WM
 

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#1 Sam Sung
06/06/2015 - 21:59 | Warnen spam
WM schrieb:

Der mengentheoretische Grenzwert gibt den Fall an,
dass alle natürlichen Zahlen zum Abzàhlen verbraucht worden sind



Siehe Definition:
Bild:
http://en.wikipedia.org/wiki/Cardin...media/File:Aplicaci%C3%B3n_2_inyectiva_sobreyectiva04.svg

Bildbeschriftung:
Bijective function from N to E.

Although E is a proper subset of N,

both sets have the same cardinality.

Das musst du nun langsam mal raffen: und auch wenn du die Elementzahl
der rechten Menge als kleiner als die linke Menge begreifst (was aber
falsch ist), dann mach dir klar, dass die Eigenschaft '...' : es gibt
immer ein nàchstes Element mathematisch definiert ist.

This way something like an "exhaustion" between *2 chains ending with ...*
is impossible - because is undefined that every element has one successor.

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