"Mengenlehre" für Anfänger (Albrecht)

20/07/2009 - 15:18 von Herbert Newman | Report spam
Albrecht schrieb:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Wenn dies

X
XX
XXX
XXXX
XXXXX
...

eine mathematisch exakt definierbare Notation der Folge der
natürlichen Zahlen ist, so ist auch dies

XXXXXXXXX ...

eine mathematisch exakt definierbare Notation der Folge der
natürlichen Zahlen.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Wieder mal eine _reine Behauptung_. Cranks scheint generell nicht klar zu
sein, dass man in der Mathematik "wenn ... dann ..."-Behauptungen (sog.
Implikationen) mittels _mathematischer_ Argumente (->Beweis) BEGRÜNDEN
muss.

Außerdem ist die Terminologie etwas "unklar" (to say the least): mir ist
-ehrlich gesagt- nicht ganz klar, was der Autor (im letzten Teilsatz) sagen
möchte.

Aber halten wir fest: Ja, man kann eine Zeichenfolge

XXXX...

bestehend aus (abzàhlbar) unendlich vielen 'X' im Kontext der Mengenlehre
als Existent annehmen.

Mathematich könnte man diese Folge in etwas so beschreiben/definieren:

(a_i)_ieN mit a_i = 'X' für alle i e N.

Trivialerweise ist dann die Anzahl der Folgeglieder natürlich aleph_0.

Albrecht:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Im ersten Fall werden die [Zahlzeichen] in jeweils neue Zeilen geschrieben,
im zweiten Fall werden die [Zahlzeichen] in immer die gleiche Zeile
geschrieben (jeweils auf Position 1 beginnend, also quasi übereinander
gelegt).

Nun ist die Kardinalzahl der Menge der natürlichen Zahlen aleph_0 und
damit ist auch die Kardinalzahl der Zeichen "X" in der ersten Spalte
der Darstellung

X
XX
XXX
XXXX
XXXXX
...

gleich aleph_0.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Ok.

Albrecht:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

[Gefragt ist nun nach der] Anzahl oder Kardinalzahl der Zeichen "X" in
[dem Ausdruck]

XXXXXXXX ... (*)

Nun làsst sich aber eine Bijektion von

XXXXXXXX ...

auf

X
X
X
X
X
X
.
.
.

konstruieren.

Damit ist [die Anzahl oder Kardinalzahl der Zeichen "X" in [dem Ausdruck
(*) gleich] aleph_0. [...]

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Genau. Passt!

Albrecht:
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Dieses Argument hatte ich schon verschiedentlich angegeben.

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Schön. Weiter so!


Herbert
 

Lesen sie die antworten

#1 Herbert Newman
20/07/2009 - 18:23 | Warnen spam
Am Mon, 20 Jul 2009 15:18:12 +0200 schrieb Herbert Newman:

@Albrecht: Unter Verwendung einer üblichen Notation kann man Deine
Erkenntnis in etwa so darstellen:

{1} u {1, 2} u {1, 2, 3} u ... = {1, 2, 3,...}

bzw. mathematisch sauber (also in korrekter mengentheoretischer Notation)
als:

U A_i = N.
ieN

mit A_i = {n e N : n <= i} (i e N). (Wobei N die Menge der natürlichen
Zahlen ohne 0 sei.)

Die Vereinigung aller endlichen Anfangsabschnitte (natürlicher Zahlen) ist
gleich der Menge der natürlichen Zahlen (also ein _unendlicher_ Anfangsab-
schnitt.)

Beweis: trivial.


Herbert

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