Mengenlehre für Anfänger: (endliche) Multimengen

12/10/2009 - 16:59 von Herbert Newman | Report spam
[ Extra nochmal für die Deppenfragtion ]

Aus gegebenem Anlass ein kleiner Exkurs über (endliche) Multimengen und wie
man sie im Kontext der (gewöhnlichen) Mengenlehre einführen kann.

"Der Begriff der [endlichen] Multimenge muß nicht als neuer Grundbegriff in
die Mathematik eingeführt werden. Er ist im Prinzip aus dem Tupelbegriff
und damit letztlich aus dem Mengenbegriff definierbar, nàmlich durch

{{a_1, ..., a_n}} := {(a_1, ..., a_n), (a_pi(1), ..., a_pi(n)), ...},

wobei pi alle Vertauschungen der Stellen von 1 bis n bedeutet. so ist z. B.

{{1, 4, 4}} = {(1, 4, 4), (4, 1, 4), (4, 4, 1)}.

Diese Definition, welche keine Reihenfolge bevorzugt, bewirkt, daß zwei
Multimengen genau dann gleich sind, wenn sie entsprechende Elemente mit
jeweils gleicher Vorkommenszahl enthalten." (W. Oberschelp/D. Wille,
Mathematischer Einführungskurs für Informatiker)

Mit anderen Worten, es gilt z. B.

{{1, 4, 4}} = {{4, 1, 4}};
aber
{{1, 4, 4}} =/= {{1, 4}}.

Die hier erwàhnte "Vorkommenszahl" kann man wohl z. B. wie folgt angeben:

Die /Vorkommenszahl/ von a in der Multimenge {{a_1, ..., a_n}} ist
definiert als die Anzahl aller j e {1,...,n}, für die a_j = a gilt.

Mit ihrer Hilfe kann man dann auch andere nützliche Begriffe definieren:

a /kommt/ in der Multimenge M /vor/ gdw. die Vorkommenszahl von a in M
größer 0 ist.

a /kommt/ in der Multimenge M /n-mal vor/ gdw. die Vorkommenszahl von a
in M gleich n ist. (n e IN)

Falls a in der Multimenge M 0-mal vorkommt, bzw. wenn es nicht der Fall
ist, dass a in M vorkommt, dann sagen wir: a kommt in M _nicht_ vor.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Anwendungsbeispiel:

Mithilfe des Begriffs der (endlichen) Multimenge kann man z. B. leicht die
Partitionen einer (nat.) Zahl _mengentheoretisch_ (z. B. im Kontext von
ZFC) einführen. Dazu definieren wir:

(a_1 + ... + a_n) := {{a_1, ..., a_n}}

für n e IN\{0} und a_1, ..., a_n e IN\{0}

und nennen (a_1 + ... + a_n) /eine Partition der Zahl m/ gdw. SUM a_i = m
ist.

Die Partitionen z. B. der Zahl 4 sind dann also:

(1 + 1 + 1 + 1), (2 + 1 + 1), (2 + 2), (3 + 1), (4).

(wobei diese paarweise verschieden sind). Außerdem gilt z. B.

(2 + 1 + 1) = (1 + 2 + 1) = (1 + 1 + 2) ,
und
(3 + 1) = (1 + 3),

wie es für/bei "Zahl-Partitionen" sein soll.


Herbert
 

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#1 Mengenlehrer
12/10/2009 - 18:09 | Warnen spam
Herbert Newman schrieb:
[ Extra nochmal für die Deppenfragtion ]

Aus gegebenem Anlass ein kleiner Exkurs über (endliche) Multimengen und wie
man sie im Kontext der (gewöhnlichen) Mengenlehre einführen kann.

"Der Begriff der [endlichen] Multimenge muß nicht als neuer Grundbegriff in
die Mathematik eingeführt werden. Er ist im Prinzip aus dem Tupelbegriff
und damit letztlich aus dem Mengenbegriff definierbar, nàmlich durch

{{a_1, ..., a_n}} := {(a_1, ..., a_n), (a_pi(1), ..., a_pi(n)), ...},

wobei pi alle Vertauschungen der Stellen von 1 bis n bedeutet. so ist z. B.

{{1, 4, 4}} = {(1, 4, 4), (4, 1, 4), (4, 4, 1)}.

Diese Definition, welche keine Reihenfolge bevorzugt, bewirkt, daß zwei
Multimengen genau dann gleich sind, wenn sie entsprechende Elemente mit
jeweils gleicher Vorkommenszahl enthalten." (W. Oberschelp/D. Wille,
Mathematischer Einführungskurs für Informatiker)




Etwas mathematischer könnte man auch eine Äquivalenzrelation ~
auf der Menge der Tupel (=: TUP) definieren (t1~t2 :<=> gleiche Lànge
und es gibt eine Permutation, so dass ...), und dann die Menge
der Äquivalenzklassen TUP/~ betrachten.

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