Mengenlehre für Anfänger: Multimengen

07/10/2009 - 13:43 von Herbert Newman | Report spam
Aus gegebenem Anlass ein kleiner Exkurs über Multimengen und wie man sie im
Kontext der (gewöhnlichen) Mengenlehre einführen kann.

"Der Begriff der Multimenge muß nicht als neuer Grundbegriff in die
Mathematik eingeführt werden. Er ist im Prinzip aus dem Tupelbegriff und
damit letztlich aus dem Mengenbegriff definierbar, nàmlich durch

{{a_1, ..., a_n}} := {(a_1, ..., a_n), (a_pi(1), ..., a_pi(n)), ...},

wobei pi alle Vertauschungen der Stellen von 1 bis n bedeutet. so ist z. B.

{{1, 4, 4}} = {(1, 4, 4), (4, 1, 4), (4, 4, 1)}.

Diese Definition, welche keine Reihenfolge bevorzugt, bewirkt, daß zwei
Multimengen genau dann gleich sind, wenn sie entsprechende Elemente mit
jeweils gleicher Vorkommenszahl enthalten." (W. Oberschelp/D. Wille,
Mathematischer Einführungskurs für Informatiker)

Mit anderen Worten, es gilt z. B.

{{1, 4, 4}} = {{4, 1, 4}};
aber
{{1, 4, 4}} =/= {{1, 4}}.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Anwendungsbeispiel:

Mithilfe des Begriffs der Multimenge kann man z. B. leicht die Partitionen
einer (nat.) Zahl _mengentheoretisch_ einführen. Dazu definieren wir:

(a_1 + ... + a_n) := {{a_1, ..., a_n}}

für n e IN\{0} und a_1, ..., a_n e IN\{0}

und nennen (a_1 + ... + a_n) /eine Partition der Zahl m/ gdw. SUM a_i = m
ist. Die Partitionen z. B. der Zahl 4 sind dann also:

(1 + 1 + 1 + 1), (2 + 1 + 1), (2 + 2), (3 + 1), (4).


Herbert
 

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#1 Peter
07/10/2009 - 17:09 | Warnen spam
On 7 Okt., 13:43, Herbert Newman wrote:
Aus gegebenem Anlass ein kleiner Exkurs über Multimengen und wie man sie im
Kontext der (gewöhnlichen) Mengenlehre einführen kann.

"Der Begriff der Multimenge muß nicht als neuer Grundbegriff in die
Mathematik eingeführt werden. Er ist im Prinzip aus dem Tupelbegriff und
damit letztlich aus dem Mengenbegriff definierbar, nàmlich durch

{{a_1, ..., a_n}} := {(a_1, ..., a_n), (a_pi(1), ..., a_pi(n)), ...},

wobei pi alle Vertauschungen der Stellen von 1 bis n bedeutet.



Heißt das, dass eine Multimenge immer endlich und damit
WM-wohlgefàllig ist?

so ist z. B.

{{1, 4, 4}} = {(1, 4, 4), (4, 1, 4), (4, 4, 1)}.

Diese Definition, welche keine Reihenfolge bevorzugt, bewirkt, daß zwei
Multimengen genau dann gleich sind, wenn sie entsprechende Elemente mit
jeweils gleicher Vorkommenszahl enthalten." (W. Oberschelp/D. Wille,
Mathematischer Einführungskurs für Informatiker)



Wie ist denn 'Vorkommenszahl' definiert?

Anwendungsbeispiel:

Mithilfe des Begriffs der Multimenge kann man z. B. leicht die Partitionen
einer (nat.) Zahl _mengentheoretisch_ einführen. Dazu definieren wir:

(a_1 + ... + a_n) := {{a_1, ..., a_n}}
für n e IN\{0} und a_1, ..., a_n e IN\{0}



Warum schließt du die '0' aus?

und nennen (a_1 + ... + a_n) /eine Partition der Zahl m/ gdw. SUM a_i = m

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